Die Eulersche Zahl  e= 2,718281828459...        zurück

Die e- Funktion (Exponentialfunktion) f(x)=e^x  = e hoch x = e^x bleibt nämlich beim Differenzieren und Integrieren unverändert.

Die Zahl e ist das Ergebnis eines Grenzüberganges. Die beiden bekanntesten Darstellungen dieser transzendenten Zahl lauten:

• 1.   e = lim (1+1/n)ⁿ    (n strebt gegen positiv unendlich)

• 2.   e = 1 + 1/1 + 1/(1*2) + 1/(1*2*3) + 1/(1*2*3*4) +.....

Die 2.Formel kann man mit dem Zeichen für die Fakultätsberechnung , dem Ausrufezeichen !,  auch anders schreiben:

e = 1 + 1 / 1! + 1 / 2! + 1/ 3! + 1/ 4!  +  ...... + 1/ n!

Diese mathematische Reihe kann man sehr einfach in ein Basicprogramm umsetzen :

Folgender allgemeiner Code wird dazu gebraucht:

E = 1 : F = 1

For K = 1 to 10

• F = F*K
• E = E + 1/F
• Print E

Next K

Wenn man die Schleife K ein paarmal durchlaufen läßt,   wird der Wert E = e immer genauer. Am Anfang hat man E gleich 1 gesetzt.

F ist die Fakultätsvariable ! , Je größer der Wert von K wird desto größer wird die Fakultät. Auch sie setzt man am Anfang gleich 1.

Wie man das Ganze in Visual Basic programmiert, zeigt folgendes Miniprogramm prge.htm

Jemand zahlt am 1.Januar eine Mark auf der Bank ein.

Die Bank garantiert ihm eine momentane Verzinsung zu einem Zinssatz von 100%. Wie groß ist sein Guthaben am 1.Januar des nächsten Jahres?

Nach der Zinseszinsformel ist K= K₀*(1+p)ⁿ  

K₀ ist hier 1 DM, p= 100% =1, wenn der Zinszuschlag jährlich erfolgt.

Bei halbjährlichem Zuschlag wäre K= 1*(1+0,5)^2 DM = 2,25 DM, also schon etwas mehr.

Bei täglicher Verzinsung erhalten wir:

K= 1*(1+1/365)^365 = 2,71... DM.

Wenn man momentan verzinst, wird n unendlich groß, und man kommt genau auf den oben angegebenen Grenzwert für e. Es ist

e= 2,718281828459...

Da e eine transzendente Zahl ist, ist der Dezimalbruch unendlich und nicht periodisch.

Eine Zahl heisst transzendent, wenn sie nicht als Lösung einer algebraischen Gleichung beliebigen Grades

•      a_n * x ⁿ + .. + a₁ * x + a _o = 0

mit ganzzahligen Koeffizienten a_k auftreten kann , andernfalls heisst die Zahl algebraisch.

Bilder

Links zur Eulerschen Zahl

http://www.mathsoft.com/asolve/constant/e/e.html

Literatur zum Thema

1.E. Maor, e: The Story of a Number, Princeton Univ. Press, 1994; MR 95a:01002.

2.J. M. Borwein and P. B. Borwein, Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity, Wiley, 1987, p. 343; MR 99h:11147.

3.C. D. Olds, The simple continued fraction expansion of e, Amer. Math. Monthly 77 (1970) 968-974.

4.A. H. J. Sale, The calculation of e to many significant digits , Computer J. 11 (1968) 229-230.

5.H. J. Brothers and J. A. Knox, New closed-form approximations to the logarithmic constant e, Math. Intellig. v.

20, n. 4 (1998) 25-29; MR 2000c:11209; also D. Mackenzie's Math Buffs Find an Easier e, I. Peterson's Hunting e and J. Knox's Serendipit-e.

6.J. A. Knox and H. J. Brothers, Novel series-based approximations to e, College Math. J. 30 (1999) 269-275; MR 2000i:11198.

7.J. A. Nathan, The irrationality of exp(x) for nonzero rational x, Amer. Math. Monthly 105 (1998) 762-763.

8.K. Tognetti, e the Exponential - the Magic Number of Growth (University of Wollongong, Australia).

9.R. Fowler, e: The Number 2.71828... (RPO University, Saskatoon).

10.W. Mueller, The Number e (MathSoft Inc.).