Mathematik     zurck                      e^(i*Pi+1) = 0



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Didaktik in der Mathematik

Mathematik lernt man durch eigenes Rechnen und �en. Es hat nicht viel Wert , alles was der Lehrer an der Tafel vorrechnet , brav mitzuschreiben.

Es ist viel effektiver , wenn man viele Aufgaben selber rechnet und das richtige Ergebnis kontrollieren kann. Sehr hilfreich sind dabei zb die Bchlein aus dem Mentor Verlag

In der Mathematik verwendete Zeichen

Berhmte Mathematiker



Mathematische Konstanten

Bezeichnung der Konstante

Symbol

Wert

Bedeutung, Verwendung

Kreiszahl pi

π

≈3,14159265

u.a. Fl�he und Umfang des Kreises

Eulersche Zahl e

e

≈2,71828183

Basis des natrlichen Logarithmus

Eulerkonstante

γ

≈0,577215664

Feigenbaum-Konstante

δ

≈4,6692

�ergang ins Chaos

Goldener Schnitt

Φ

(1+√5)/2 ≈1,618033



Orginaltexte:

"Das Buch der Natur ist mit mathematischen Symbolen geschrieben. Genauer: Die Natur spricht die Sprache der Mathematik: die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren." Galileo Galilei

aus dem Taschenbuch der Mathematik

http://www.harri-deutsch.de/verlag/titel/bronstei/s_2005.htm


1 Arithmetik 1

1.1 Elementare Rechenregeln 1

Zahlen 1

Natrliche, ganze und rationale Zahlen 1

Irrationale und transzendente Zahlen 1

Reelle Zahlen 2

Beweismethoden 5

Direkter Beweis 5

Indirekter Beweis oder Beweis durch Widerspruch 5

Vollst�dige Induktion 5

Konstruktiver Beweis 6

Summen und Produkte 6

Summen 6

Produkte 7

Potenzen, Wurzeln, Logarithmen 8

Potenzen 8

Wurzeln 8

Logarithmen 9

Spezielle Logarithmen 9

Algebraische Ausdrcke 10

Definitionen 10

Einteilung der algebraischen Ausdrcke 11

Ganzrationale Ausdrcke 11

Darstellung in Form eines Polynoms 11

Zerlegung eines Polynoms in Faktoren 11

Spezielle Formeln 12

Binomischer Satz 12

Bestimmung des gr�ten gemeinsamen Teilers zweier Polynome 14

Gebrochenrationale Ausdrcke 14

Rckfhrung auf die einfachste Form 14

Bestimmung des ganzrationalen Anteils 15

Partialbruchzerlegung 15

Umformung von Proportionen 17

Irrationale Ausdrcke 17

1.2 Endliche Reihen 18

Definition der endlichen Reihe 18

Arithmetische Reihen 18

Geometrische Reihe 19

Spezielle endliche Reihen 19

Mittelwerte 19

Arithmetisches Mittel 19

Geometrisches Mittel 20

Harmonisches Mittel 20

Quadratisches Mittel 20

Vergleich der Mittelwerte fr zwei positive Gr�en a und b 20

1.3 Finanzmathematik 21

Prozentrechnung 21

Zinseszinsrechnung 22

Tilgungsrechnung 23

Tilgung 23

Gleiche Tilgungsraten 23

Gleiche Annuit�en 24

Rentenrechnung 24

Rente 24

Nachschssig konstante Rente 25

Kontostand nach n Rentenzahlungen 25

Abschreibungen 26

1.4 Ungleichungen 28

Reine Ungleichungen 28

Definitionen 28

Eigenschaften der Ungleichungen vom Typ I und II 29

Spezielle Ungleichungen 30

Dreiecksungleichung 30

Ungleichungen fr den Absolutbetrag der Differenz zweier Zahlen 30

Ungleichung fr das arithmetische und das geometrische Mittel 30

Ungleichung fr das arithmetische und das quadratische Mittel 30

Ungleichungen fr verschiedene Mittelwerte zweier reeller Zahlen 30

Bernoullische Ungleichung 31

Binomische Ungleichung 31

Cauchy-Schwarzsche Ungleichung 31

Tschebyscheffsche Ungleichung 31

Verallgemeinerte Tschebyscheffsche Ungleichung 32

H�dersche Ungleichung 32

Minkowskische Ungleichung 33

L�ung von Ungleichungen 1. und 2. Grades 33

Allgemeines 33

Ungleichungen 1. Grades 33

Ungleichungen 2. Grades 33

Allgemeiner Fall der Ungleichung 2. Grades 34

1.5 Komplexe Zahlen 34

Imagin�e und komplexe Zahlen 34

Imagin�e Einheit 34

Komplexe Zahlen 34

Geometrische Darstellung 35

Vektordarstellung 35

Gleichheit komplexer Zahlen 35

Trigonometrische Form der komplexen Zahlen 35

Exponentialform einer komplexen Zahl 36

Konjugiert komplexe Zahlen 36

Rechnen mit komplexen Zahlen 36

Addition und Subtraktion 36

Multiplikation 37

Division 37

Allgemeine Regeln fr die vier Grundrechenarten 38

Potenzieren einer komplexen Zahl 38

Radizieren oder Ziehen der n-ten Wurzel aus einer komplexen Zahl 38

1.6 Algebraische und transzendente Gleichungen 38

Umformung algebraischer Gleichungen auf die Normalform 38

Definitionen 38

Systeme aus n algebraischen Gleichungen 39

Scheinbare Wurzeln 39

Gleichungen 1. bis 4. Grades 39

Gleichungen 1. Grades (lineare Gleichungen) 39

Gleichungen 2. Grades (quadratische Gleichungen) 40

Gleichungen 3. Grades (kubische Gleichungen) 40

Gleichungen 4. Grades 42

Gleichungen 5. und h�eren Grades 43

Gleichungen n-ten Grades 43

Allgemeine Eigenschaften der algebraischen Gleichungen 43

Gleichungen mit reellen Koeffizienten 44

Rckfhrung transzendenter Gleichungen auf algebraische Gleichungen 45

Definition 45

Exponentialgleichungen 46

Logarithmische Gleichungen 46

Trigonometrische Gleichungen 46

Gleichungen mit Hyperbelfunktionen 47


2 Funktionen und ihre Darstellung 48

2.1 Funktionsbegriff 48

Definition der Funktion 48

Funktion 48

Reelle Funktion 48

Funktion von mehreren Ver�derlichen 48

Komplexe Funktion 48

Weitere Funktionen 48

Funktionale 48

Funktion und Abbildung 49

Methoden zur Definition einer reellen Funktion 49

Angabe einer Funktion 49

Analytische Darstellung reeller Funktionen 49

Einige Funktionstypen 50

Monotone Funktionen 50

Beschr�kte Funktionen 51

Extremwerte von Funktionen 51

Gerade Funktionen 51

Ungerade Funktionen 51

Darstellung mit Hilfe gerader und ungerader Funktionen 52

Periodische Funktionen 52

Inverse oder Umkehrfunktionen 52

Grenzwert von Funktionen 53

Definition des Grenzwertes einer Funktion 53

Zurckfhrung auf den Grenzwert einer Folge (s. S. 420) 53

Konvergenzkriterium von Cauchy 53

Unendlicher Grenzwert einer Funktion 54

Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert einer Funktion 54

Grenzwert einer Funktion fr x gegen unendlich 54

S�ze ber Grenzwerte von Funktionen 55

Berechnung von Grenzwerten 55

Gr�enordnung von Funktionen und Landau-Symbole 57

Stetigkeit einer Funktion 58

Stetigkeit und Unstetigkeitsstelle 58

Definition der Stetigkeit 59

H�fig auftretende Arten von Unstetigkeiten 59

Stetigkeit und Unstetigkeitspunkte elementarer Funktionen 60

Eigenschaften stetiger Funktionen 61

2.2 Elementare Funktionen 62

Algebraische Funktionen 62

Ganzrationale Funktionen (Polynome) 62

Gebrochenrationale Funktionen 62

Irrationale Funktionen 63

Transzendente Funktionen 63

Exponentialfunktionen 63

Logarithmische Funktionen 63

Trigonometrische Funktionen 63

Inverse trigonometrische Funktionen 63

Hyperbelfunktionen 63

Inverse Hyperbelfunktionen 63

Zusammengesetzte Funktionen 63

2.3 Polynome 64

Lineare Funktion 64

Quadratisches Polynom 64

Polynom 3. Grades 64

Polynom n-ten Grades 65

Parabel n-ter Ordnung 66

2.4 Gebrochenrationale Funktionen 66

Umgekehrte Proportionalit� 66

Kurve 3. Ordnung, Typ I 67

Kurve 3. Ordnung, Typ II 67

Kurve 3. Ordnung, Typ III 69

Reziproke Potenz 70

2.5 Irrationale Funktionen 71

Quadratwurzel aus einem linearen Binom 71

Quadratwurzel aus einem quadratischen Polynom 71

Potenzfunktion 71

2.6 Exponentialfunktionen und logarithmische Funktionen 72

Exponentialfunktion 72

Logarithmische Funktionen 73

Gau�che Glockenkurve 73

Exponentialsumme 73

Verallgemeinerte Gau�che Glockenkurve 74

Produkt aus Potenz- und Exponentialfunktion 75

2.7 Trigonometrische Funktionen (Winkelfunktionen) 76

Grundlagen 76

Definition und Darstellung 76

Wertebereiche und Funktionsverl�fe 78

Wichtige Formeln fr trigonometrische Funktionen 80

Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen 80

Trigonometrische Funktionen der Summe und der Differenz zweier Winkel (Additionstheoreme) 80

Trigonometrische Funktionen fr Winkelvielfache 81

Trigonometrische Funktionen des halben Winkels 82

Summen und Differenzen zweier trigonometrischer Funktionen 82

Produkte trigonometrischer Funktionen 82

Potenzen trigonometrischer Funktionen 83

Beschreibung von Schwingungen 83

Problemstellung 83

Superposition oder �erlagerung von Schwingungen 83

Vektordiagramm fr Schwingungen 84

D�pfung von Schwingungen 84

2.8 Zyklometrische Funktionen (Arkusfunktionen) 85

Definition der zyklometrischen Funktionen 85

Zurckfhrung auf die Hauptwerte 85

Beziehungen zwischen den Hauptwerten 86

Formeln fr negative Argumente 87

Summe und Differenz von arcsin x und arcsin y 87

Summe und Differenz von arccos x und arccos y 87

Summe und Differenz von arctan x und arctan y 87

Spezielle Beziehungen fr arcsin x, arccos x, arctan x 88

2.9 Hyperbelfunktionen 88

Definition der Hyperbelfunktionen 88

Graphische Darstellung der Hyperbelfunktionen 89

Hyperbelsinus 89

Hyperbelkosinus 89

Hyperbeltangens 90

Hyperbelkotangens 90

Wichtige Formeln fr Hyperbelfunktionen 90

Hyperbelfunktionen einer Variablen 90

Darstellung einer Hyperbelfunktion durch eine andere gleichen Argumentes 90

Formeln fr negative Argumente 90

Hyperbelfunktionen der Summe und der Differenz zweier Argumente (Additionstheoreme) 91

Hyperbelfunktionen des doppelten Arguments 91

Formel von Moivre fr Hyperbelfunktionen 91

Hyperbelfunktionen des halben Arguments 91

Summen und Differenzen von Hyperbelfunktionen 91

Zusammenhang zwischen den Hyperbel- und den trigonometrischen Funktionen mit Hilfe komplexer

Argumente 92

2.10 Areafunktionen 92

Definitionen 92

Areasinus 92

Areakosinus 92

Areatangens 93

Areakotangens 93

Darstellung der Areafunktionen durch den natrlichen Logarithmus 93

Beziehungen zwischen den verschiedenen Areafunktionen 94

Summen und Differenzen von Areafunktionen 94

Formeln fr negative Argumente 94

2.11 Kurven dritter Ordnung 95

Semikubische Parabel 95

Versiera der Agnesi 95

Kartesisches Blatt 96

Zissoide 96

Strophoide 96

2.12 Kurven vierter Ordnung 97

Konchoide des Nikomedes 97

Allgemeine Konchoide 98

Pascalsche Schnecke 98

Kardioide 99

Cassinische Kurven 100

Lemniskate 101

2.13 Zykloiden 101

Gew�nliche Zykloide 101

Verl�gerte und verkrzte Zykloiden oder Trochoiden 102

Epizykloide 103

Hypozykloide und Astroide 104

Verl�gerte und verkrzte Epizykloide und Hypozykloide 105

2.14 Spiralen 105

Archimedische Spirale 105

Hyperbolische Spirale 106

Logarithmische Spirale 106

Evolvente des Kreises 107

Klotoide 107

2.15 Verschiedene andere Kurven 108

Kettenlinie oder Katenoide 108

Schleppkurve oder Traktrix 108

2.16 Aufstellung empirischer Kurven 109

Verfahrensweise 109

Kurvenbildervergleiche 109

Rektifizierung 109

Parameterbestimmung 109

Gebr�chlichste empirische Formeln 110

Potenzfunktionen 110

Exponentialfunktionen 110

Quadratisches Polynom 111

Gebrochenlineare Funktion 112

Quadratwurzel aus einem quadratischen Polynom 112

Verallgemeinerte Gau�che Glockenkurve 112

Kurve 3. Ordnung, Typ II 113

Kurve 3. Ordnung, Typ III 113

Kurve 3. Ordnung, Typ I 113

Produkt aus Potenz- und Exponentialfunktion 114

Exponentialsumme 114

Vollst�dig durchgerechnetes Beispiel 114

2.17 Skalen und Funktionspapiere 116

Skalen 116

Funktionspapiere 117

Einfach-logarithmisches Funktionspapier 118

Doppelt-logarithmisches Funktionspapier 118

Funktionspapier mit einer reziproken Skala 118

Hinweis 119

2.18 Funktionen von mehreren Ver�derlichen 120

Definition und Darstellung 120

Darstellung von Funktionen mehrerer Ver�derlicher 120

Geometrische Darstellung von Funktionen mehrerer Ver�derlicher 120

Verschiedene ebene Definitionsbereiche 121

Definitionsbereich einer durch eine Menge gegebenen Funktion 121

Zweidimensionale Gebiete 121

Drei- und mehrdimensionale Gebiete 121

Methoden zur Definition einer Funktion 121

Formen der analytischen Darstellung einer Funktion 123

Abh�gigkeit von Funktionen 124

Grenzwerte 125

Definition 125

Exakte Formulierung 125

Verallgemeinerung auf mehrere Ver�derliche 125

Iterierte Grenzwerte 126

Stetigkeit 126

Eigenschaften stetiger Funktionen 126

Nullstellensatz von Bolzano 126

Zwischenwertsatz 126

Satz ber die Beschr�ktheit einer Funktion 126

Satz von Weierstrass ber die Existenz des gr�ten und kleinsten Funktionswertes 127

2.19 Nomographie 127

Nomogramme 127

Netztafeln 127

Fluchtlinientafeln 128

Fluchtlinientafeln mit drei geraden Skalen durch einen Punkt 128

Fluchtlinientafeln mit zwei parallelen und einer dazu geneigten geradlinigen Skala 129

Fluchtlinientafeln mit zwei parallelen, geradlinigen Skalen und einer Kurvenskala 130

Netztafeln fr mehr als drei Ver�derliche 131


3 Geometrie 132

3.1 Planimetrie 132

Grundbegriffe 132

Punkt, Gerade, Strahl, Strecke 132

Winkel 132

Winkel an zwei sich schneidenden Geraden 133

Winkelpaare an geschnittenen Parallelen 133

Winkel im Gradma�und im Bogenma�134

Geometrische Definition der Kreis- und Hyperbel-Funktionen 134

Definition der Kreis- oder trigonometrischen Funktionen 134

Geometrische Definition der Hyperbelfunktionen 135

Ebene Dreiecke 136

Aussagen zu ebenen Dreiecken 136

Symmetrie 137

Ebene Vierecke 139

Parallelogramm 139

Rechteck und Quadrat 139

Rhombus oder Raute 139

Trapez 139

Allgemeines Viereck 140

Sehnenviereck 140

Tangentenviereck 141

Ebene Vielecke oder Polygone 141

Allgemeines Vieleck 141

Regelm�ige konvexe Vielecke 141

Einige regelm�ige konvexe Vielecke 142

Ebene Kreisfiguren 143

Kreis 143

Kreisabschnitt (Kreissegment) und Kreisausschnitt (Kreissektor) 145

Kreisring 145

3.2 Ebene Trigonometrie 146

Dreiecksberechnungen 146

Berechnungen in rechtwinkligen ebenen Dreiecken 146

Berechnungen in ebenen schiefwinkligen Dreiecken 146

Geod�ische Anwendungen 149

Geod�ische Koordinaten 149

Winkel in der Geod�ie 150

Vermessungstechnische Anwendungen 152

3.3 Stereometrie 155

Geraden und Ebenen im Raum 155

Kanten, Ecken, Raumwinkel 156

Polyeder 157

K�per, die durch gekrmmte Fl�hen begrenzt sind 160

3.4 Sph�ische Trigonometrie 164

Grundbegriffe der Geometrie auf der Kugel 164

Kurven, Bogen und Winkel auf der Kugel 164

Spezielle Koordinatensysteme 166

Sph�isches Zweieck 167

Sph�isches Dreieck 167

Polardreieck 168

Eulersche und Nicht-Eulersche Dreiecke 169

Dreikant 169

Haupteigenschaften sph�ischer Dreiecke 169

Allgemeine Aussagen 169

Grundformeln und Anwendungen 170

Weitere Formeln 173

Berechnung sph�ischer Dreiecke 174

Grundaufgaben, Genauigkeitsbetrachtungen 174

Rechtwinklig sph�isches Dreieck 174

Schiefwinklig sph�isches Dreieck 176

Sph�ische Kurven 180

3.5 Vektoralgebra und analytische Geometrie 186

Vektoralgebra 186

Definition des Vektors, Rechenregeln 186

Skalarprodukt und Vektorprodukt 189

Mehrfache multiplikative Verknpfungen 191

Vektorielle Gleichungen 194

Kovariante und kontravariante Koordinaten eines Vektors 194

Geometrische Anwendungen der Vektoralgebra 195

Analytische Geometrie der Ebene 195

Ebene Koordinatensysteme und deren Transformationen 195

Spezielle Punkte in der Ebene 198

Gerade 201

Kreis 204

Ellipse 205

Hyperbel 207

Parabel 210

Kurven 2. Ordnung (Kegelschnitte) 212

Analytische Geometrie des Raumes 214

Grundlagen, r�mliche Koordinatensysteme 214

Gerade und Ebene im Raum 221

Fl�hen 2. Ordnung, Gleichungen in Normalform 227

Fl�hen 2. Ordnung, allgemeine Theorie 231

3.6 Differentialgeometrie 233

Ebene Kurven 233

M�lichkeiten, eine ebene Kurve zu definieren 233

Lokale Elemente einer Kurve 234

Ausgezeichnete Kurvenpunkte und Asymptoten 239

Allgemeine Untersuchung einer Kurve nach ihrer Gleichung 244

Evoluten und Evolventen 245

Einhllende von Kurvenscharen 246

Raumkurven 247

M�lichkeiten, eine Raumkurve zu definieren 247

Begleitendes Dreibein 247

Krmmung und Windung 250

Fl�hen 252

M�lichkeiten, eine Fl�he zu definieren 252

Tangentialebene und Fl�hennormale 253

Linienelement auf einer Fl�he 254

Krmmung einer Fl�he 256

Regelfl�hen und abwickelbare Fl�hen 259

Geod�ische Linien auf einer Fl�he 259


4 Lineare Algebra 261

4.1 Matrizen 261

Begriff der Matrix 261

Quadratische Matrizen 262

Vektoren 263

Rechenoperationen mit Matrizen 264

Rechenregeln fr Matrizen 267

Vektor- und Matrizennorm 268

Vektornormen 268

Matrizennormen 269

4.2 Determinanten 269

Definitionen 269

Determinanten 269

Unterdeterminanten 269

Rechenregeln fr Determinanten 270

Berechnung von Determinanten 271

4.3 Tensoren 272

Transformation des Koordinatensystems 272

Tensoren in kartesischen Koordinaten 272

Tensoren mit speziellen Eigenschaften 274

Tensoren 2. Stufe 274

Invariante Tensoren 275

Tensoren in krummlinigen Koordinatensystemen 276

Kovariante und kontravariante Basisvektoren 276

Kovariante und kontravariante Koordinaten von Tensoren 1. Stufe 276

Kovariante, kontravariante und gemischte Koordinaten von Tensoren 2. Stufe 277

Rechenregeln 278

Pseudotensoren 279

Punktspiegelung am Koordinatenursprung 279

Einfhrung des Begriffs Pseudotensor 280

4.4 Lineare Gleichungssysteme 281

Lineare Systeme, Austauschverfahren 281

Lineare Systeme 281

Austauschverfahren 281

Lineare Abh�gigkeiten 282

Invertierung einer Matrix 282

L�ung linearer Gleichungssysteme 282

Definition und L�barkeit 282

Anwendung des Austauschverfahrens 284

Cramersche Regel 285

Gau�cher Algorithmus 286

�erbestimmte lineare Gleichungssysteme 287

�erbestimmte lineare Gleichungssysteme und lineare Quadratmittelprobleme 287

Hinweise zur numerischen L�ung linearer Quadratmittelprobleme 288

4.5 Eigenwertaufgaben bei Matrizen 288

Allgemeines Eigenwertproblem 288

Spezielles Eigenwertproblem 288

Charakteristisches Polynom 288

Reelle symmetrische Matrizen, �nlichkeitstransformationen 290

Hauptachsentransformation quadratischer Formen 291

Hinweise zur numerischen Bestimmung von Eigenwerten 293

Singul�wertzerlegung 295


5 Algebra und Diskrete Mathematik 297

5.1 Logik 297

Aussagenlogik 297

Ausdrcke der Pr�ikatenlogik 300

5.2 Mengenlehre 302

Mengenbegriff, spezielle Mengen 302

Operationen mit Mengen 303

Relationen und Abbildungen 306

�uivalenz- und Ordnungsrelationen 308

M�htigkeit von Mengen 309

5.3 Klassische algebraische Strukturen 310

Operationen 310

Halbgruppen 310

Gruppen 311

Definition und grundlegende Eigenschaften 311

Untergruppen und direkte Produkte 312

Abbildungen zwischen Gruppen 314

Darstellung von Gruppen 315

Definitionen 315

Spezielle Darstellungen 315

Direkte Summe von Darstellungen 316

Direktes Produkt von Darstellungen 317

Reduzible und irreduzible Darstellungen 317

Erstes Schursches Lemma 318

Clebsch-Gordan-Reihe 318

Irreduzible Darstellung der symmetrischen Gruppe SM 318

Anwendungen von Gruppen 319

Symmetrieoperationen, Symmetrieelemente 319

Symmetriegruppen 319

Symmetrieoperationen bei Moleklen 320

Symmetriegruppen in der Kristallographie 322

Symmetriegruppen in der Quantenmechanik 324

Weitere Anwendungsbeispiele aus der Physik 324

Ringe und K�per 325

Definitionen 325

Unterringe, Ideale 326

Homomorphismen, Isomorphismen, Homomorphiesatz 326

Vektorr�me 326

Definition 326

Lineare Abh�gigkeit 327

Lineare Abbildungen 327

Unterr�me, Dimensionsformel 327

Euklidische Vektorr�me, Euklidische Norm 328

Lineare Operatoren in Vektorr�men 329

5.4 Elementare Zahlentheorie 330

Teilbarkeit 330

Teilbarkeit und elementare Teilbarkeitsregeln 330

Primzahlen 330

Teilbarkeitskriterien 332

Gr�ter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches 333

Fibonacci-Zahlen 334

Lineare Diophantische Gleichungen 335

Kongruenzen und Restklassen 337

S�ze von Fermat, Euler und Wilson 341

Codes 341

5.5 Kryptologie 344

Aufgabe der Kryptologie 344

Kryptosysteme 344

Mathematische Pr�isierung 344

Sicherheit von Kryptosystemen 345

Methoden der klassischen Kryptologie 345

Tauschchiffren 346

Vigenere-Chiffre 346

Matrixsubstitutionen 346

Methoden der klassischen Kryptoanalysis 347

Statistische Analyse 347

Kasiski-Friedman-Test 347

One-Time-Tape 348

Verfahren mit �fentlichem Schlssel 348

Konzept von Diffie und Hellman 348

Einwegfunktionen 349

RSA-Verfahren 349

DES-Algorithmus (Data Encryption Standard) 350

IDEA-Algorithmus (International Data Encryption Algorithm) 350

5.6 Universelle Algebra 351

Definition 351

Kongruenzrelationen, Faktoralgebren 351

Homomorphismen 351

Homomorphiesatz 352

Variet�en 352

Termalgebren, freie Algebren 352

5.7 Boolesche Algebren und Schaltalgebra 353

Definition 353

Dualit�sprinzip 353

Endliche Boolesche Algebren 354

Boolesche Algebren als Ordnungen 354

Boolesche Funktionen, Boolesche Ausdrcke 354

Normalformen 356

Schaltalgebra 356

5.8 Algorithmen der Graphentheorie 359

Grundbegriffe und Bezeichnungen 359

Durchlaufungen von ungerichteten Graphen 362

Kantenfolgen 362

Eulersche Linien 363

Hamilton-Kreise 364

B�me und Gerste 365

B�me 365

Gerste 366

Matchings 367

Planare Graphen 368

Bahnen in gerichteten Graphen 369

Transportnetze 370

5.9 Fuzzy-Logik 372

Grundlagen der Fuzzy-Logik 372

Interpretation von Fuzzy-Mengen (Unscharfe Mengen) 372

Zugeh�igkeitsfunktionen 373

Fuzzy-Mengen 375

Verknpfungen unscharfer Mengen 376

Konzept fr eine Verknpfung (Aggregation) unscharfer Mengen 376

Praktische Verknpfungen unscharfer Mengen 377

Kompensatorische Operatoren 380

Erweiterungsprinzip 380

Unscharfe Komplementfunktion 380

Fuzzy-wertige Relationen 381

Fuzzy-Relationen 381

Fuzzy-Relationenprodukt R o S 383

Fuzzy-Inferenz 384

Defuzzifizierungsmethoden 386

Wissensbasierte Fuzzy-Systeme 387

Methode Mamdani 387

Methode Sugeno 387

Kognitive Systeme 388

Wissensbasiertes Interpolationssystem 390


6 Differentialrechnung 393

6.1 Differentiation von Funktionen einer Ver�derlichen 393

Differentialquotient 393

Differentiationsregeln fr Funktionen einer Ver�derlicher 394

Ableitungen elementarer Funktionen 394

Grundregeln fr das Differenzieren 394

Ableitungen h�erer Ordnung 400

Definition der Ableitungen h�erer Ordnung 400

Ableitungen h�erer Ordnung der einfachsten Funktionen 400

Leibnizsche Regel 400

H�ere Ableitungen von Funktionen in Parameterdarstellung 401

Ableitungen h�erer Ordnung der inversen Funktion 401

Haupts�ze der Differentialrechnung 402

Monotoniebedingungen 402

Satz von Fermat 402

Satz von Rolle 403

Mittelwertsatz der Differentialrechnung 403

Satz von Taylor fr Funktionen von einer Ver�derlichen 404

Verallgemeinerter Mittelwertsatz der Differentialrechnung 404

Bestimmung von Extremwerten und Wendepunkten 404

Maxima und Minima 404

Notwendige Bedingung fr die Existenz eines relativen Extremwertes 405

Relative Extremwerte einer differenzierbaren, explizit gegebenen Funktion y =f(x) 405

Bestimmung der globalen Extremwerte 406

Bestimmung der Extremwerte einer implizit gegebenen Funktion 406

6.2 Differentiation von Funktionen von mehreren Ver�derlichen 407

Partielle Ableitungen 407

Partielle Ableitung einer Funktion 407

Geometrische Bedeutung bei zwei Ver�derlichen 407

Begriff des Differentials 407

Haupteigenschaften des Differentials 408

Partielles Differential 409

Vollst�diges Differential und Differentiale h�erer Ordnung 409

Begriff des vollst�digen Differentials einer Funktion von mehreren Ver�derlichen (totales Differential) 409

Ableitungen und Differentiale h�erer Ordnungen 410

Satz von Taylor fr Funktionen von mehreren Ver�derlichen 411

Differentiationsregeln fr Funktionen von mehreren Ver�derlichen 412

Differentiation von zusammengesetzten Funktionen 412

Differentiation impliziter Funktionen 412

Substitution von Variablen in Differentialausdrcken und Koordinatentransformationen 414

Funktion von einer Ver�derlichen 414

Funktion zweier Ver�derlicher 415

Extremwerte von Funktionen von mehreren Ver�derlichen 416

Definition 416

Geometrische Bedeutung 416

Bestimmung der Extremwerte einer Funktion von zwei Ver�derlichen 417

Bestimmung der Extremwerte einer Funktion von n Ver�derlichen 417

L�ung von Approximationsaufgaben 417

Bestimmung der Extremwerte unter Vorgabe von Nebenbedingungen 418


7  Unendliche Reihen   419

7.1  Zahlenfolgen   419

Eigenschaften von Zahlenfolgen   419
Grenzwerte von Zahlenfolgen   420

7.2  Reihen mit konstanten Gliedern   421

Allgemeine Konvergenzs�ze   421
Konvergenzkriterien fr Reihen mit positiven Gliedern   422
Absolute und bedingte Konvergenz   424
Einige spezielle Reihen   425
Absch�zung des Reihenrestes   428

7.3  Funktionenreihen   429

Definitionen   429
Gleichm�ige Konvergenz   429
Potenzreihen   431
N�erungsformeln    434
Asymptotische Potenzreihen   434

7.4  Fourier-Reihen   436

Trigonometrische Summe und Fourier-Reihe   436
Koeffizientenbestimmung fr symmetrische Funktionen    438
Koeffizientenbestimmung mit Hilfe numerischer Methoden   440
Fourier-Reihe und Fourier-Integral   440
Hinweise zur Tabelle einiger Fourier-Entwicklungen   441

8  Integralrechnung   443

8.1  Unbestimmtes Integral   443

Stammfunktion oder Integral   443
Integrationsregeln   444
Integration rationaler Funktionen   447
Integration irrationaler Funktionen   450
Integration trigonometrischer Funktionen   453
Integration weiterer transzendenter Funktionen   455

8.2  Bestimmte Integrale   456

Grundbegriffe, Regeln und {S�ze}   456
Anwendungen bestimmter Integrale   463
Uneigentliche Integrale, Stieltjes- und Lebesgue-Integrale   469
Parameterintegrale   475
Integration durch Reihenentwicklung, spezielle nichtelementare Funktionen   476

8.3  Kurvenintegrale   479

Kurvenintegrale 1. Art   479
Kurvenintegrale 2. Art   481
Kurvenintegrale allgemeiner Art   483
Unabh�gigkeit des Kurvenintegrals vom Integrationsweg   485

8.4  Mehrfachintegrale   488

Doppelintegral   488
Dreifachintegral   491

8.5  Oberfl�henintegrale   496

Oberfl�henintegrale 1. Art   496
Oberfl�henintegrale 2. Art   500

9  Differentialgleichungen   504

9.1  Gew�nliche Differentialgleichungen   504

Differentialgleichungen 1. Ordnung    505
Differentialgleichungen h�erer Ordnung und Systeme von Differentialgleichungen   515
Randwertprobleme    532

9.2  Partielle Differentialgleichungen   535

Partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung   535
Lineare partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung   540
Partielle Differentialgleichungen aus Naturwissenschaft und Technik   554
Nichtlineare partielle Differentialgleichungen, Solitonen   566

10  Variationsrechnung   572

10.1  Aufgabenstellung   572

10.2  Historische Aufgaben   573

Isoperimetrisches Problem   573
Brachistochronenproblem   573

10.3  Variationsaufgaben mit Funktionen einer Ver�derlichen   574

Einfache Variationsaufgabe und Extremale   574
Eulersche Differentialgleichung der Variationsrechnung   574
Variationsaufgaben mit Nebenbedingungen   576
Variationsaufgaben mit h�eren Ableitungen   577
Variationsaufgaben mit mehreren gesuchten Funktionen   577
Variationsaufgaben in Parameterdarstellung   578

10.4  Variationsaufgaben mit Funktionen von mehreren Ver�derlichen   579

Einfache Variationsaufgabe   579
Allgemeinere Variationsaufgaben   580

10.5  Numerische L�ung von Variationsaufgaben   580

10.6  Erg�zungen   582

Erste und zweite Variation   582
Anwendungen in der Physik   582

11  Lineare Integralgleichungen   583

11.1  Einfhrung und Klassifikation   583

11.2  Fredholmsche Integralgleichungen 2. Art   584

Integralgleichungen mit ausgearteten Kernen   584
Methode der sukzessiven Approximation, Neumann-Reihe   587
Fredholmsche L�ungsmethode, Fredholmsche S�ze   589
Numerische Verfahren fr Fredholmsche Integralgleichungen 2. Art   592

11.3  Fredholmsche Integralgleichungen 1. Art   598

Integralgleichungen mit ausgearteten Kernen   598
Begriffe, analytische Grundlagen   599
Zurckfhrung der Integralgleichung auf ein lineares Gleichungssystem   600
L�ung der homogenen Integralgleichung 1. Art   602
Konstruktion zweier spezieller Orthonormalsysteme zu einem gegebenen Kern   603
Iteratives Verfahren   604

11.4  Volterrasche Integralgleichungen   605

Theoretische Grundlagen   605
L�ung durch Differentiation   606
Neumannsche Reihe zur L�ung der Volterraschen Integralgleichungen 2. Art   607
Volterrasche Integralgleichungen vom Faltungstyp   608
Numerische Behandlung Volterrascher Integralgleichungen 2. Art   609

11.5  Singul�e Integralgleichungen   611

Abelsche Integralgleichung   611
Singul�e Integralgleichungen mit Cauchy-Kernen   612

12  Funktionalanalysis   616

12.1  Vektorr�me   616

Begriff des Vektorraumes   616
Lineare und affin-lineare Teilmengen   617
Linear unabh�gige Elemente   619
Konvexe Teilmengen und konvexe Hlle   619
Lineare Operatoren und Funktionale   620
Komplexifikation reeller Vektorr�me   621
Geordnete Vektorr�me   621

12.2  Metrische R�me   624

Begriff des metrischen Raumes   624
Vollst�dige metrische R�me   627
Stetige Operatoren   631

12.3  Normierte R�me   631

Begriff des normierten Raumes   631
Banach-R�me   632
Geordnete normierte R�me   633
Normierte Algebren   634

12.4  Hilbert-R�me   635

Begriff des Hilbert-Raumes   635
Orthogonalit�   636
Fourier-Reihen im Hilbert-Raum   637
Existenz einer Basis. Isomorphe Hilbert-R�me   638

12.5  Stetige lineare Operatoren und Funktionale   639

Beschr�ktheit, Norm und Stetigkeit linearer Operatoren   639
Lineare stetige Operatoren in Banach-R�men   640
Elemente der Spektraltheorie linearer Operatoren   642
Stetige lineare Funktionale   643
Fortsetzung von linearen Funktionalen   644
Trennung konvexer Mengen   645
Bidualer Raum und reflexive R�me   646

12.6  Adjungierte Operatoren in normierten R�men   646

Adjungierter Operator zu einem beschr�kten Operator   646
Adjungierter Operator zu einem unbeschr�kten Operator   647
Selbstadjungierte Operatoren   647

12.7  Kompakte Mengen und kompakte Operatoren   648

Kompakte Teilmengen in normierten R�men   648
Kompakte Operatoren   648
Fredholmsche Alternative   649
Kompakte Operatoren im Hilbert-Raum   650
Kompakte selbstadjungierte Operatoren   650

12.8  Nichtlineare Operatoren   650

Beispiele nichtlinearer Operatoren   650
Differenzierbarkeit nichtlinearer Operatoren   651
Newton-Verfahren   652
Schaudersches Fixpunktprinzip   652
Leray-Schauder-Theorie   652
Positive nichtlineare Operatoren   653
Monotone Operatoren in Banach-R�men   654

12.9  Ma�und Lebesgue-Integral   654

Sigma-Algebren und Ma�   654
Me�are Funktionen   656
Integration   656
Lp-R�me   658
Distributionen   659

13  Vektoranalysis und Feldtheorie   661

13.1  Grundbegriffe der Feldtheorie   661

Vektorfunktion einer skalaren Variablen   661
Skalarfelder   662
Vektorfelder   663

13.2  R�mliche Differentialoperationen   668

Richtungs- und Volumenableitung   668
Gradient eines Skalarfeldes   669
Vektorgradient   671
Divergenz des Vektorfeldes   671
Rotation des Vektorfeldes   673
Nablaoperator, Laplace-Operator   675
�ersicht zu den r�mlichen Differentialoperationen   677

13.3  Integration in Vektorfeldern   679

Kurvenintegral und Potential im Vektorfeld   679
Oberfl�henintegrale   682
Integrals�ze   685

13.4  Berechnung von Feldern   687

Reines Quellenfeld   687
Reines Wirbelfeld oder quellenfreies Wirbelfeld   687
Vektorfelder mit punktf�migen Quellen   688
Superposition von Feldern   688

13.5  Differentialgleichungen der Feldtheorie   689

Laplacesche Differentialgleichung   689
Poissonsche Differentialgleichung   689

14  Funktionentheorie   691

14.1  Funktionen einer komplexen Ver�derlichen   691

Stetigkeit, Differenzierbarkeit   691
Analytische Funktionen   692
Konforme Abbildung   694

14.2  Integration im Komplexen   706

Bestimmtes und unbestimmtes Integral   706
Integralsatz von Cauchy, Hauptsatz der Funktionentheorie   708
Integralformeln von Cauchy   709

14.3  Potenzreihenentwicklung analytischer Funktionen   710

Konvergenz von Reihen mit komplexen Gliedern   710
Taylor-Reihe   712
Prinzip der analytischen Fortsetzung   712
Laurent-Entwicklung   713
Isolierte singul�e Stellen und der Residuensatz   713

14.4  Berechnung reeller Integrale durch Integration im Komplexen   715

Anwendung der Cauchyschen Integralformeln   715
Anwendung des Residuensatzes   715
Anwendungen des Lemmas von Jordan   716

14.5  Algebraische und elementare transzendente Funktionen   719

Algebraische Funktionen   719
Elementare transzendente Funktionen   719
Beschreibung von Kurven in komplexer Form   722

14.6  Elliptische Funktionen   723

Zusammenhang mit elliptischen Integralen   723
Jacobische Funktionen   725
Thetafunktionen   726
Weierstrasssche Funktionen   727

15  Integraltransformationen   728

15.1  Begriff der Integraltransformation   728

Allgemeine Definition der Integraltransformationen   728
Spezielle Integraltransformationen   728
Umkehrtransformationen   728
Linearit� der Integraltransformationen   730
Integraltransformationen fr Funktionen von mehreren Ver�derlichen   730
Anwendungen der Integraltransformationen   730

15.2  Laplace-Transformation   731

Eigenschaften der Laplace-Transformation   731
Rcktransformation in den Originalbereich   739
L�ung von Differentialgleichungen mit Hilfe der Laplace-Transformation   742

15.3  Fourier-Transformation   745

Eigenschaften der Fourier-Transformation   745
L�ung von Differentialgleichungen mit Hilfe der Fourier-Transformation   752

15.4  Z-Transformation   755

Eigenschaften der Z-Transformation   755
Anwendungen der Z-Transformation   759

15.5  Wavelet-Transformation   761

Signale   761
Wavelets   762
Wavelet-Transformation   763
Diskrete Wavelet-Transformation   764
Gabor-Transformation   764

15.6  WALSH-Funktionen   765

Treppenfunktionen   765
WALSH-Systeme   765

16  Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik   766

16.1  Kombinatorik   766

Permutationen   766
Kombinationen   766
Variationen   767
Zusammenstellung der Formeln der Kombinatorik   768

16.2  Wahrscheinlichkeitsrechnung   768

Ereignisse, H�figkeiten und Wahrscheinlichkeiten   768
Zufallsgr�en, Verteilungsfunktion   772
Diskrete Verteilungen   775
Stetige Verteilungen   778
Gesetze der gro�n Zahlen, Grenzwerts�ze   785
Stochastische Prozesse und stochastische Ketten   786

16.3  Mathematische Statistik   791

Stichprobenfunktionen   791
Beschreibende Statistik   793
Wichtige Prfverfahren   795
Korrelation und Regression   800
Monte-Carlo-Methode   804

16.4  Theorie der Me�ehler   809

Me�ehler und ihre Verteilung   809
Fehlerfortpflanzung und Fehleranalyse   816

17  Dynamische Systeme und Chaos   819

17.1  Gew�nliche Differentialgleichungen und Abbildungen   819

Dynamische Systeme   819
Qualitative Theorie gew�nlicher Differentialgleichungen   822
Diskrete dynamische Systeme   834
Strukturelle Stabilit� (Robustheit)   836

17.2  Quantitative Beschreibung von Attraktoren   838

Wahrscheinlichkeitsma� auf Attraktoren   838
Entropien   842
Lyapunov-Exponenten   842
Dimensionen   844
Seltsame Attraktoren und Chaos   851
Chaos in eindimensionalen Abbildungen   852

17.3  Bifurkationstheorie und Wege zum Chaos   852

Bifurkationen in Morse-Smale-Systemen   852
�erg�ge zum Chaos   862

18  Optimierung   870

18.1  Lineare Optimierung   870

Problemstellung und geometrische Darstellung   870
Grundbegriffe der linearen Optimierung, Normalform   872
Simplexverfahren   875
Spezielle lineare Optimierungsprobleme   881

18.2  Nichtlineare Optimierung   885

Problemstellung und theoretische Grundlagen   885
Spezielle nichtlineare Optimierungsaufgaben   887
L�ungsverfahren fr quadratische Optimierungsaufgaben   888
Numerische Suchverfahren   891
Verfahren fr unrestringierte Aufgaben   892
Gradientenverfahren fr Probleme mit Ungleichungsrestriktionen   894
Straf- und Barriereverfahren   898
Schnittebenenverfahren   900

18.3  Diskrete dynamische Optimierung   901

Diskrete dynamische Entscheidungsmodelle   901
Beispiele diskreter Entscheidungsmodelle   902
Bellmannsche Funktionalgleichungen   902
Bellmannsches Optimalit�sprinzip   904
Bellmannsche Funktionalgleichungsmethode   904
Beispiele zur Anwendung der Funktionalgleichungsmethode   905

19  Numerische Mathematik   907

19.1  Numerische L�ung nichtlinearer Gleichungen mit einer Unbekannten   907

Iterationsverfahren   907
L�ung von Polynomgleichungen   910

19.2  Numerische L�ung von Gleichungssystemen   913

Lineare Gleichungssysteme   913
Nichtlineare Gleichungssysteme   919

19.3  Numerische Integration   921

Allgemeine Quadraturformel   921
Interpolationsquadraturen   922
Quadraturformeln vom Gau�Typ   923
Verfahren von Romberg   924

19.4  Gen�erte Integration von gew�nlichen Differentialgleichungen   927

Anfangswertaufgaben   927
Randwertaufgaben   931

19.5  Gen�erte Integration von partiellen Differentialgleichungen   934

Differenzenverfahren   934
Ansatzverfahren   935
Methode der finiten Elemente (FEM)   936

19.6  Approximation, Ausgleichsrechnung, Harmonische Analyse   941

Polynominterpolation   941
Approximation im Mittel   943
Tschebyscheff-Approximation   947
Harmonische Analyse   950

19.7  Darstellung von Kurven und Fl�hen mit Hilfe von Splines   955

Kubische Splines   955
Bikubische Splines   957
Bernstein-B�ier-Darstellung von Kurven und Fl�hen   958

19.8  Nutzung von Computern   961

Interne Zeichendarstellung   961
Numerische Probleme beim Rechnen auf Computern   964
Bibliotheken numerischer Verfahren   969
Anwendung von Computeralgebrasystemen   971

20  Computeralgebrasysteme   978

20.1  Einfhrung   978

Kurzcharakteristik von Computeralgebrasystemen   978
Einfhrende Beispiele fr die Hauptanwendungsgebiete   979
Aufbau von und Umgang mit Computeralgebrasystemen   980

20.2  Mathematica   982

Haupstrukturelemente   982
Zahlenarten in Mathematica   983
Wichtige Operatoren   984
Listen   985
Vektoren und Matrizen als Listen   987
Funktionen   989
Muster   989
Funktionaloperationen   990
Programmierung   991
Erg�zungen zur Syntax, Informationen, Meldungen   992

20.3  Maple   994

Hauptstrukturelemente   994
Zahlenarten in Maple   995
Wichtige Operatoren in Maple   997
Algebraische Ausdrcke   997
Folgen und Listen   998
Tabellen- und feldartige Strukturen, Vektoren und Matrizen   999
Funktionen und Operatoren   1001
Programmierung in Maple   1003
Erg�zungen zur Syntax, Informationen und Hilfe   1004

20.4  Anwendungen von Computeralgebrasystemen   1005

Manipulation algebraischer Ausdrcke   1005
L�ung von Gleichungen und Gleichungssystemen   1010
Elemente der linearen Algebra   1014
Differential- und Integralrechnung   1019

20.5  Graphik in Computeralgebrasystemen   1025

Graphik mit Mathematica   1025
Graphik mit Maple   1033

21  Tabellen   1039

21.1  H�fig gebrauchte Konstanten   1039

21.2  Naturkonstanten   1039

21.3  Wichtige Reihenentwicklungen   1041

21.4  Fourier-Entwicklungen   1046

21.5  Unbestimmte Integrale   1049

Integrale rationaler Funktionen   1049
Integrale irrationaler Funktionen   1056
Integrale trigonometrischer Funktionen   1067
Integrale anderer transzendenter Funktionen   1076

21.6  Bestimmte Integrale   1082

Bestimmte Integrale trigonometrischer Funktionen   1082
Bestimmte Integrale von Exponentialfunktionen   1083
Bestimmte Integrale logarithmischer Funktionen   1084
Bestimmte Integrale algebraischer Funktionen   1085

21.7  Elliptische Integrale   1087

Elliptische Integrale 1. Gattung   1087
Elliptische Integrale 2. Gattung   1087
Vollst�dige elliptische Integrale K und E   1088

21.8  Gammafunktion   1089

21.9  Bessel-Funktionen (Zylinderfunktionen)   1090

21.10  Legendresche Polynome 1. Art (Kugelfunktionen)   1092

21.11  Laplace-Transformationen   1093

21.12  Fourier-Transformationen   1099

Fourier-Kosinus-Transformationen   1099
Fourier-Sinus-Transformationen   1105
Fourier-Transformationen   1110
Exponentielle Fourier-Transformationen   1112

21.13  Z-Transformationen   1113

21.14  Poisson-Verteilung   1116

21.15  Normierte Normalverteilung   1118

Normierte Normalverteilung fr 0.00 <= x<= 1.99   1118

21.16  Chi 2-Verteilung   1120

21.17  Fishersche F-Verteilung   1121

21.18  Studentsche t-Verteilung   1123

21.19  Zufallszahlen   1124


Aus Encarta

Mathematics

I. Introduction

Mathematics, study of relationships among quantities, magnitudes, and properties and of logical operations by which unknown quantities, magnitudes, and properties may be deduced. In the past, mathematics was regarded as the science of quantity, whether of magnitudes, as in geometry, or of numbers, as in arithmetic, or of the generalization of these two fields, as in algebra. Toward the middle of the 19th century, however, mathematics came to be regarded increasingly as the science of relations, or as the science that draws necessary conclusions. This latter view encompasses mathematical or symbolic logic, the science of using symbols to provide an exact theory of logical deduction and inference based on definitions, axioms, postulates, and rules for combining and transforming primitive elements into more complex relations and theorems.

This brief survey of the history of mathematics traces the evolution of mathematical ideas and concepts, beginning in prehistory. Indeed, mathematics is nearly as old as humanity itself; evidence of a sense of geometry and interest in geometric pattern has been found in the designs of prehistoric pottery and textiles and in cave paintings. Primitive counting systems were almost certainly based on using the fingers of one or both hands, as evidenced by the predominance of the numbers 5 and 10 as the bases for most number systems today.

II. Ancient Mathematics

Print section

The earliest records of advanced, organized mathematics date back to the ancient Mesopotamian country of Babylonia and to Egypt of the 3rd millennium BC. There mathematics was dominated by arithmetic, with an emphasis on measurement and calculation in geometry and with no trace of later mathematical concepts such as axioms or proofs.

The earliest Egyptian texts, composed about 1800 BC, reveal a decimal numeration system with separate symbols for the successive powers of 10 (1, 10, 100, and so forth), just as in the system used by the Romans. Numbers were represented by writing down the symbol for 1, 10, 100, and so on as many times as the unit was in a given number. For example, the symbol for 1 was written five times to represent the number 5, the symbol for 10 was written six times to represent the number 60, and the symbol for 100 was written three times to represent the number 300. Together, these symbols represented the number 365. Addition was done by totaling separately the units10s, 100s, and so forthin the numbers to be added. Multiplication was based on successive doublings, and division was based on the inverse of this process.

The Egyptians used sums of unit fractions ( 1/n), supplemented by the fraction 2/3, to express all other fractions. For example, the fraction 2/7 was the sum of the fractions ? and 1/28. Using this system, the Egyptians were able to solve all problems of arithmetic that involved fractions, as well as some elementary problems in algebra. In geometry, the Egyptians calculated the correct areas of triangles, rectangles, and trapezoids and the volumes of figures such as bricks, cylinders, and pyramids. To find the area of a circle, the Egyptians used the square on 8/9 of the diameter of the circle, a value of about 3.16close to the value of the ratio known as pi, which is about 3.14.

The Babylonian system of numeration was quite different from the Egyptian system. In the Babylonian systemwhich, when using clay tablets, consisted of various wedge-shaped marksa single wedge indicated 1 and an arrowlike wedge stood for 10 (see table). Numbers up through 59 were formed from these symbols through an additive process, as in Egyptian mathematics. The number 60, however, was represented by the same symbol as 1, and from this point on a positional symbol was used. That is, the value of one of the first 59 numerals depended henceforth on its position in the total numeral. For example, a numeral consisting of a symbol for 2 followed by one for 27 and ending in one for 10 stood for 2 �602 + 27 �60 + 10. This principle was extended to the representation of fractions as well, so that the above sequence of numbers could equally well represent 2 �60 + 27 + 10 �( 1/60), or 2 + 27 �( 1/60) + 10 �( 1/60-2). With this sexagesimal system (base 60), as it is called, the Babylonians had as convenient a numerical system as the 10-based system.

The Babylonians in time developed a sophisticated mathematics by which they could find the positive roots of any quadratic equation (see Equation). They could even find the roots of certain cubic equations. The Babylonians had a variety of tables, including tables for multiplication and division, tables of squares, and tables of compound interest. They could solve complicated problems using the Pythagorean theorem; one of their tables contains integer solutions to the Pythagorean equation, a2 + b2 = c2, arranged so that c2/a2 decreases steadily from 2 to about 4/3. The Babylonians were able to sum arithmetic and some geometric progressions, as well as sequences of squares. They also arrived at a good approximation for . In geometry, they calculated the areas of rectangles, triangles, and trapezoids, as well as the volumes of simple shapes such as bricks and cylinders. However, the Babylonians did not arrive at the correct formula for the volume of a pyramid.

A. Greek Mathematics

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The Greeks adopted elements of mathematics from both the Babylonians and the Egyptians. The new element in Greek mathematics, however, was the invention of an abstract mathematics founded on a logical structure of definitions, axioms, and proofs. According to later Greek accounts, this development began in the 6th century BC with Thales of Miletus and Pythagoras of S�os, the latter a religious leader who taught the importance of studying numbers in order to understand the world. Some of his disciples made important discoveries about the theory of numbers and geometry, all of which were attributed to Pythagoras.

In the 5th century BC, some of the great geometers were the atomist philosopher Democritus of Abdera, who discovered the correct formula for the volume of a pyramid, and Hippocrates of Chios, who discovered that the areas of crescent-shaped figures bounded by arcs of circles are equal to areas of certain triangles. This discovery is related to the famous problem of squaring the circlethat is, constructing a square equal in area to a given circle. Two other famous mathematical problems that originated during the century were those of trisecting an angle and doubling a cubethat is, constructing a cube the volume of which is double that of a given cube. All of these problems were solved, and in a variety of ways, all involving the use of instruments more complicated than a straightedge and a geometrical compass. Not until the 19th century, however, was it shown that the three problems mentioned above could never have been solved using those instruments alone.

In the latter part of the 5th century BC, an unknown mathematician discovered that no unit of length would measure both the side and diagonal of a square. That is, the two lengths are incommensurable. This means that no counting numbers n and m exist whose ratio expresses the relationship of the side to the diagonal. Since the Greeks considered only the counting numbers (1, 2, 3, and so on) as numbers, they had no numerical way to express this ratio of diagonal to side. (This ratio, , would today be called irrational.) As a consequence the Pythagorean theory of ratio, based on numbers, had to be abandoned and a new, nonnumerical theory introduced. This was done by the 4th-century BC mathematician Eudoxus of Cnidus, whose solution may be found in the Elements of Euclid. Eudoxus also discovered a method for rigorously proving statements about areas and volumes by successive approximations.

Euclid was a mathematician and teacher who worked at the famed Museum of Alexandria and who also wrote on optics, astronomy, and music. The 13 books that make up his Elements contain much of the basic mathematical knowledge discovered up to the end of the 4th century BC on the geometry of polygons and the circle, the theory of numbers, the theory of incommensurables, solid geometry, and the elementary theory of areas and volumes.

The century that followed Euclid was marked by mathematical brilliance, as displayed in the works of Archimedes of Syracuse and a younger contemporary, Apollonius of Perga. Archimedes used a method of discovery, based on theoretically weighing infinitely thin slices of figures, to find the areas and volumes of figures arising from the conic sections. These conic sections had been discovered by a pupil of Eudoxus named Menaechmus, and they were the subject of a treatise by Euclid, but Archimedes' writings on them are the earliest to survive. Archimedes also investigated centers of gravity and the stability of various solids floating in water. Much of his work is part of the tradition that led, in the 17th century, to the discovery of the calculus. Archimedes was killed by a Roman soldier during the sack of Syracuse. His younger contemporary, Apollonius, produced an eight-book treatise on the conic sections that established the names of the sections: ellipse, parabola, and hyperbola. It also provided the basic treatment of their geometry until the time of the French philosopher and scientist Ren�Descartes in the 17th century.

After Euclid, Archimedes, and Apollonius, Greece produced no geometers of comparable stature. The writings of Hero of Alexandria in the 1st century AD show how elements of both the Babylonian and Egyptian mensurational, arithmetic traditions survived alongside the logical edifices of the great geometers. Very much in the same tradition, but concerned with much more difficult problems, are the books of Diophantus of Alexandria in the 3rd century AD . They deal with finding rational solutions to kinds of problems that lead immediately to equations in several unknowns. Such equations are now called Diophantine equations (see Diophantine Analysis).

B. Applied Mathematics in Greece

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Paralleling the studies described in pure mathematics were studies made in optics, mechanics, and astronomy. Many of the greatest mathematical writers, such as Euclid and Archimedes, also wrote on astronomical topics. Shortly after the time of Apollonius, Greek astronomers adopted the Babylonian system for recording fractions and, at about the same time, composed tables of chords in a circle. For a circle of some fixed radius, such tables give the length of the chords subtending a sequence of arcs increasing by some fixed amount. They are equivalent to a modern sine table, and their composition marks the beginnings of trigonometry. In the earliest such tablesthose of Hipparchus in about 150 BCthe arcs increased by steps of 7?, from 0 to 180. By the time of the astronomer Ptolemy in the 2nd century AD, however, Greek mastery of numerical procedures had progressed to the point where Ptolemy was able to include in his Almagest a table of chords in a circle for steps of ?, which, although expressed sexagesimally, is accurate to about five decimal places.

In the meantime, methods were developed for solving problems involving plane triangles, and a theoremnamed after the astronomer Menelaus of Alexandriawas established for finding the lengths of certain arcs on a sphere when other arcs are known. These advances gave Greek astronomers what they needed to solve the problems of spherical astronomy and to develop an astronomical system that held sway until the time of the German astronomer Johannes Kepler.

III. Medieval and Renaissance Mathematics

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Following the time of Ptolemy, a tradition of study of the mathematical masterpieces of the preceding centuries was established in various centers of Greek learning. The preservation of such works as have survived to modern times began with this tradition. It was continued in the Islamic world, where original developments based on these masterpieces first appeared.

A. Islamic and Indian Mathematics

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After a century of expansion in which the religion of Islam spread from its beginnings in the Arabian Peninsula to dominate an area extending from Spain to the borders of China, Muslims began to acquire the results of the "foreign sciences." At centers such as the House of Wisdom in Baghdad, supported by the ruling caliphs and wealthy individuals, translators produced Arabic versions of Greek and Indian mathematical works.

By the year 900 AD the acquisition was complete, and Muslim scholars began to build on what they had acquired. Thus mathematicians extended the Hindu decimal positional system of arithmetic from whole numbers to include decimal fractions, and the 12th-century Persian mathematician Omar Khayyam generalized Hindu methods for extracting square and cube roots to include fourth, fifth, and higher roots. In algebra, al-Karaji completed the algebra of polynomials of Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi. Al-Karaji included polynomials with an infinite number of terms. (Al-Khwarizmi's name, incidentally, is the source of the word algorithm, and the title of one of his books is the source of the word algebra.) Geometers such as Ibrahim ibn Sinan continued Archimedes' investigations of areas and volumes, and Kamal al-Din and others applied the theory of conic sections to solve optical problems. Using the Hindu sine function and Menelaus's theorem, mathematicians from Habas al-Hasib to Nasir ad-Din at-Tusi created the mathematical disciplines of plane and spherical trigonometry. These did not become mathematical disciplines in the West, however, until the publication of De Triangulis Omnimodibus by the German astronomer Regiomontanus.

Finally, a number of Muslim mathematicians made important discoveries in the theory of numbers, while others explained a variety of numerical methods for solving equations. The Latin West acquired much of this learning during the 12th century, the great century of translation. Together with translations of the Greek classics, these Muslim works were responsible for the growth of mathematics in the West during the late Middle Ages. Italian mathematicians such as Leonardo Fibonacci and Luca Pacioli, one of the many 15th-century writers on algebra and arithmetic for merchants, depended heavily on Arabic sources for their knowledge.

B. Western Renaissance Mathematics

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Although the late medieval period saw some fruitful mathematical considerations of problems of infinity by writers such as Nicole Oresme, it was not until the early 16th century that a truly important mathematical discovery was made in the West. The discovery, an algebraic formula for the solution of both the cubic and quartic equations, was published in 1545 by the Italian mathematician Gerolamo Cardano in his Ars Magna. The discovery drew the attention of mathematicians to complex numbers and stimulated a search for solutions to equations of degree higher than 4. It was this search, in turn, that led to the first work on group theory (see Group) at the end of the 18th century, and to the theory of equations developed by the French mathematician �ariste Galois in the early 19th century.

The 16th century also saw the beginnings of modern algebraic symbolism (see Mathematical Symbols), as well as the remarkable work on the solution of equations by the French mathematician Fran�is Vi�e. His writings influenced many mathematicians of the following century, including Pierre de Fermat in France and Isaac Newton in England.

IV. Mathematics Since the 16th Century

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Europeans dominated in the development of mathematics after the Renaissance.

A. 17th Century

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During the 17th century, the greatest advances were made in mathematics since the time of Archimedes and Apollonius. The century opened with the discovery of logarithms by the Scottish mathematician John Napier, whose continued utility prompted the French astronomer Pierre Simon Laplace to remark, almost two centuries later, that Napier, by halving the labors of astronomers, had doubled their lifetimes. (Although the logarithmic function is still important in mathematics and the sciences, logarithmic tables and their instrumental formslide rulesare of much less practical use today because of electronic calculators.)

The science of number theory, which had lain dormant since the medieval period, illustrates the 17th-century advances built on ancient learning. It was Arithmetica by Diophantus that stimulated Fermat to advance the theory of numbers greatly. His most important conjecture in the field, written in the margin of his copy of the Arithmetica, was that no solutions exist to an + bn = cn for positive integers a, b, and c when n is greater than 2. This conjecture, known as Fermat's last theorem, stimulated much important work in algebra and number theory before it was finally proved in 1994.

Two important developments in pure geometry occurred during the century. The first was the publication, in Discourse on Method (1637) by Descartes, of his discovery of analytic geometry, which showed how to use the algebra that had developed since the Renaissance to investigate the geometry of curves. (Fermat made the same discovery but did not publish it.) This book, together with short treatises that had been published with it, stimulated and provided the basis for Isaac Newton's mathematical work in the 1660s. The second development in geometry was the publication by the French engineer G�ard Desargues in 1639 of his discovery of projective geometry. Although the work was much appreciated by Descartes and the French philosopher and scientist Blaise Pascal, its eccentric terminology and the excitement of the earlier publication of analytic geometry delayed the development of its ideas until the early 19th century and the works of the French mathematician Jean Victor Poncelet.

Another major step in mathematics in the 17th century was the beginning of probability theory in the correspondence of Pascal and Fermat on a problem in gambling, called the problem of points. This unpublished work stimulated the Dutch scientist Christiaan Huygens to publish a small tract on probabilities in dice games, which was reprinted by the Swiss mathematician Jakob Bernoulli in his Art of Conjecturing. Both Bernoulli and the French mathematician Abraham De Moivre, in his Doctrine of Chances in 1718, applied the newly discovered calculus to make rapid advances in the theory, which by then had important applications in the rapidly developing insurance industry.

Without question, however, the crowning mathematical event of the 17th century was the discovery by Sir Isaac Newton, between 1664 and 1666, of differential and integral calculus (see Calculus). In making this discovery, Newton built on earlier work by his fellow Englishmen John Wallis and Isaac Barrow, as well as on work of such Continental mathematicians as Descartes, Francesco Bonaventura Cavalieri, Johann van Waveren Hudde, and Gilles Personne de Roberval. About eight years later than Newton, who had not yet published his discovery, the German Gottfried Wilhelm Leibniz rediscovered calculus and published first, in 1684 and 1686. Leibniz's notation systems, such as dx, are used today in calculus.

B. 18th Century

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The remainder of the 17th century and a good part of the 18th were taken up by the work of disciples of Newton and Leibniz, who applied their ideas to solving a variety of problems in physics, astronomy, and engineering. In the course of doing so they also created new areas of mathematics. For example, Johann and Jakob Bernoulli invented the calculus of variations, and French mathematician Gaspard Monge invented differential geometry. Also in France, Joseph Louis Lagrange gave a purely analytic treatment of mechanics in his great Analytical Mechanics (1788), in which he stated the famous Lagrange equations for a dynamical system. He contributed to differential equations and number theory as well, and he originated the theory of groups. His contemporary, Laplace, wrote the classic Celestial Mechanics (1799-1825), which earned him the title the French Newton, and The Analytic Theory of Probabilities (1812).

The greatest mathematician of the 18th century was Leonhard Euler, a Swiss, who made basic contributions to calculus and to all other branches of mathematics, as well as to the applications of mathematics. He wrote textbooks on calculus, mechanics, and algebra that became models of style for writing in these areas. The success of Euler and other mathematicians in using calculus to solve mathematical and physical problems, however, only accentuated their failure to develop a satisfactory justification of its basic ideas. That is, Newton's own accounts were based on kinematics and velocities, Leibniz's explanation was based on infinitesimals, and Lagrange's treatment was purely algebraic and founded on the idea of infinite series. All these systems were unsatisfactory when measured against the logical standards of Greek geometry, and the problem was not resolved until the following century.

C. 19th Century

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In 1821 a French mathematician, Augustin Louis Cauchy, succeeded in giving a logically satisfactory approach to calculus. He based his approach only on finite quantities and the idea of a limit. This solution posed another problem, however; that of a logical definition of "real number." Although Cauchy's explanation of calculus rested on this idea, it was not Cauchy but the German mathematician Julius W. R. Dedekind who found a satisfactory definition of real numbers in terms of the rational numbers. This definition is still taught, but other definitions were given at the same time by the German mathematicians Georg Cantor and Karl T. W. Weierstrass. A further important problem, which arose out of the problemfirst stated in the 18th centuryof describing the motion of a vibrating string, was that of defining what is meant by function. Euler, Lagrange, and the French mathematician Jean Baptiste Fourier all contributed to the solution, but it was the German mathematician Peter G. L. Dirichlet who proposed the definition in terms of a correspondence between elements of the domain and the range. This is the definition that is found in texts today.

In addition to firming the foundations of analysis, as the techniques of the calculus were by then called, mathematicians of the 19th century made great advances in the subject. Early in the century, Carl Friedrich Gauss gave a satisfactory explanation of complex numbers, and these numbers then formed a whole new field for analysis, one that was developed in the work of Cauchy, Weierstrass, and the German mathematician Georg F. B. Riemann. Another important advance in analysis was Fourier's study of infinite sums in which the terms are trigonometric functions. Known today as Fourier series, they are still powerful tools in pure and applied mathematics. In addition, the investigation of which functions could be equal to Fourier series led Cantor to the study of infinite sets and to an arithmetic of infinite numbers. Cantor's theory, which was considered quite abstract and even attacked as a "disease from which mathematics will soon recover," now forms part of the foundations of mathematics and has more recently found applications in the study of turbulent flow in fluids.

A further 19th-century discovery that was considered apparently abstract and useless at the time was non-Euclidean geometry. In non-Eculidean geometry, more than one parallel can be drawn to a given line through a given point not on the line. Evidently this was discovered first by Gauss, but Gauss was fearful of the controversy that might result from publication. The same results were rediscovered independently and published by the Russian mathematician Nikolay Ivanovich Lobachevsky and the Hungarian J�os Bolyai. Non-Euclidean geometries were studied in a very general setting by Riemann with his invention of manifolds and, since the work of Einstein in the 20th century, they have also found applications in physics.

Gauss was one of the greatest mathematicians who ever lived. Diaries from his youth show that this infant prodigy had already made important discoveries in number theory, an area in which his book Disquisitiones Arithmeticae (1801) marks the beginning of the modern era. While only 18, Gauss discovered that a regular polygon with m sides can be constructed by straightedge and compass when m is a power of 2 times distinct primes of the form 2n + 1. In his doctoral dissertation he gave the first satisfactory proof of the fundamental theorem of algebra. Often he combined scientific and mathematical investigations. Examples include his development of statistical methods along with his investigations of the orbit of a newly discovered planetoid; his founding work in the field of potential theory, along with the study of magnetism; and his study of the geometry of curved surfaces in tandem with his investigations of surveying.

Of more importance for algebra itself than Gauss's proof of its fundamental theorem was the transformation of the subject during the 19th century from a study of polynomials to a study of the structure of algebraic systems. A major step in this direction was the invention of symbolic algebra in England by George Peacock. Another was the discovery of algebraic systems that have many, but not all, of the properties of the real numbers. Such systems include the quaternions of the Irish mathematician William Rowan Hamilton, the vector analysis of the American mathematician and physicist J. Willard Gibbs, and the ordered n-dimensional spaces of the German mathematician Hermann Gnther Grassmann. A third major step was the development of group theory from its beginnings in the work of Lagrange. Galois applied this work deeply to provide a theory of when polynomials may be solved by an algebraic formula.

Just as Descartes had applied the algebra of his time to the study of geometry, so the German mathematician Felix Klein and the Norwegian mathematician Marius Sophus Lie applied the algebra of the 19th century. Klein applied it to the classification of geometries in terms of their groups of transformations (the so-called Erlanger Programm), and Lie applied it to a geometric theory of differential equations by means of continuous groups of transformations known as Lie groups. In the 20th century, algebra has also been applied to a general form of geometry known as topology.

Another subject that was transformed in the 19th century, notably by Laws of Thought (1854), by the English mathematician George Boole and by Cantor's theory of sets, was the foundations of mathematics (see Logic). Toward the end of the century, however, a series of paradoxes were discovered in Cantor's theory. One such paradox, found by English mathematician Bertrand Russell, aimed at the very concept of a set (see Set Theory). Mathematicians responded by constructing set theories sufficiently restrictive to keep the paradoxes from arising. They left open the question, however, of whether other paradoxes might arise in these restricted theoriesthat is, whether the theories were consistent. As of the present time, only relative consistency proofs have been given. (That is, theory A is consistent if theory B is consistent.) Particularly disturbing is the result, proved in 1931 by the American logician Kurt G�el, that in any axiom system complicated enough to be interesting to most mathematicians, it is possible to frame propositions whose truth cannot be decided within the system.

D. Current Mathematics

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At the International Conference of Mathematicians held in Paris in 1900, the German mathematician David Hilbert spoke to the assembly. Hilbert was a professor at G�tingen, the former academic home of Gauss and Riemann. He had contributed to most areas of mathematics, from his classic Foundations of Geometry (1899) to the jointly authored Methods of Mathematical Physics. Hilbert's address at G�tingen was a survey of 23 mathematical problems that he felt would guide the work being done in mathematics during the coming century. These problems have indeed stimulated a great deal of the mathematical research of the century. When news breaks that another of the "Hilbert problems" has been solved, mathematicians all over the world await the details of the story with impatience.

Important as these problems have been, an event that Hilbert could not have foreseen seems destined to play an even greater role in the future development of mathematicsnamely, the invention of the programmable digital computer (see Computer). Although the roots of the computer go back to the geared calculators of Pascal and Leibniz in the 17th century, it was Charles Babbage in 19th-century England who designed a machine that could automatically perform computations based on a program of instructions stored on cards or tape. Babbage's imagination outran the technology of his day, however, and it was not until the invention of the relay, then of the vacuum tube, and then of the transistor, that large-scale, programmed computation became feasible. This development has given great impetus to areas of mathematics such as numerical analysis and finite mathematics. It has suggested new areas for mathematical investigation, such as the study of algorithms. It has also become a powerful tool in areas as diverse as number theory, differential equations, and abstract algebra. In addition, the computer has made possible the solution of several long-standing problems in mathematics, such as the four-color problem first proposed in the mid-19th century. The theorem stated that four colors are sufficient to color any map, given that any two countries with a contiguous boundary require different colors. The theorem was finally proved in 1976 by means of a large-scale computer at the University of Illinois.

Mathematical knowledge in the modern world is advancing at a faster rate than ever before. Theories that were once separate have been incorporated into theories that are both more comprehensive and more abstract. Although many important problems have been solved, other hardy perennials, such as the Riemann hypothesis, remain, and new and equally challenging problems arise. Even the most abstract mathematics seems to be finding applications.

Contributed By:

J. Lennart Berggren, M.S., Ph.D.

Professor of Mathematics and Statistics, Simon Fraser University. Author of Mathematics in Medieval Islam.

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Statistik

http://www.chemie.unibas.ch/~huber/Statistik/index.html

http://www.uni-bielefeld.de/~hjawww/glossar/stichwor.htm

http://www.anu.edu.au/nceph/surfstat/surfstat-home/surfstat.html