Wahrscheinlichkeit zurück
Bilder zu dem Begriff
Aufzählung von Eigenschaften
Grenzfälle und Ausnahmen
Die Wahrscheinlichkeit ist für die meisten Menschen relativ leicht zu verstehen . An Hand einer Münze oder eines Würfels hat jeder eine ganz gute Vorstellung von ihr.
Sie ist jedenfalls viel leichter zu verstehen als der Begriff Entropie . In jedem guten Statistikbuch wird der Begriff lang und breit definiert. Deswegen verzichte ich auf eine genauere Ausarbeitung und betrachte diese Seite nur als Ablage für interessante Texte, die ich zum Thema Wahrscheinlichkeit im Netz finde .
In der Mathematik kann die Wahrscheinlichkeit nur Werte zwischen 0 und 1 haben.
0 ==> völlig unmögliches Ereignis
1 ==> sicheres Ereignis
0,5 ==> idealer Münzwurf
Vorsicht ist geboten mit dem Begriff der Wahrscheinlichkeit in der Boltzmannschen Entropieformel. Das ist die sog. thermodynamische Wahrscheinlichkeit , ein sehr mißverständlicher Begriff . Er entspricht eigentlich viel besser der Zahl der Möglichkeiten ( = Mikrozustände ) eines Systems oder einer Anordnung.
Wahrscheinlichkeit nach Laplace
Die Wahrscheinlichkeit nach Laplace umschreibt die sogenannte a priori Wahrscheinlichkeit. Vor dem Zufallsexperiment sind schon alle möglichen Ereignisse bekannt, und außerdem hat jedes Elementarereignis dieselbe Wahrscheinlichkeit.
zb Urne mit gleichen aber verschieden farbigen Kugeln
Die Wahrscheinlichkeit wird durch das Verhältnis der günstigen Ereignisse zu allen möglichen Ereignissen bestimmt, wobei hier die Anzahl der günstigen Ereignisse und die Anzahl der möglichen Ereignisse klar bestimmt werden kann.
Die Wahrscheinlichkeit p(A) eines Ereignisses A wird über die relative Häufigkeit seines Auftretens ermittelt.
p(A) = n ( A) / n ( gesamt ) = Anzahl der Ereignisse A / Anzahl der gesamten möglichen Ereignisse
Aus diesem Bruch folgt auch, daß die Wahrscheinlichkeit nur Werte zwischen 0 (unmögliches Ereignis) und 1 (sicheres Ereignis) annehmen kann.
Beispiel:
Bei einem Kartenspiel kann man die Anzahl aller günstigen Ereignisse (rot = 16 Karten) und die Anzahl aller möglichen Ereignisse (ein komplettes Spiel = 32 Karten) berechnen. Der Ereignisraum, das heißt die Menge der möglichen Ereignisse, ist abzählbar. Auch ist die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer bestimmten Karte genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer beliebigen anderen Karte. Das bedeutet, das die Wahrscheinlichkeit für ein ``Herz As'' der Wahrscheinlichkeit für die ``Karo Sieben'' entspricht.
Wahrscheinlichkeit
Maß zur Quantifizierung der Sicherheit bzw. Unsicherheit des Eintretens eines bestimmten Ereignisses im Rahmen eines Zufallsexperiments.
klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff (Laplace)
Quotient aus der Zahl der günstigen Fälle und der Zahl der gleichmöglichen Fälle.
statistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff (R. von Mises)
Grenzwert der relativen Häufigkeit des Auftretens des Ereignisses.
subjektiver Wahrscheinlichkeitsbegriff (L.J. Savage)
Wettchance
axiomatischer Wahrscheinlichkeitsbegriff (A.N. Kolmogorov)
1. Axiom: 0 £ W(A) £ 1
2. Axiom: W(sicheres Ereignis) = 1
3. Axiom: W(A oder B) = W(A) + W(B) (A und B disjunkt)
Zum Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten --> Bleymüller et al. (1979: 5.4-6.3) (Additions- und Multiplikationssatz, bedingte Wahrscheinlichkeit).
Additionssatz: W(A oder B) = W(A)+W(B)-W(A und B)
Multiplikationssatz: W(A und B) = W(A)*W(B|A)
Bedingte Wahrscheinlichkeit: W(B|A) = W(B und A)/W(A)
Addition und Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten
Unabhängige Ereignisse:
Bei einem Würfel schließt das Würfeln einer 1 daß einer 6 aus.
Die Ereignisse Würfeln einer ungeraden Zahl und Würfeln einer Zahl < 4 schließen sich nicht aus.
Unabhängige Ereignisse bezeichnen wir auch als sich gegenseitig ausschließende Ereignisse.
Die Ereignisse i und j sollen nun im Folgenden immer einander ausschließen.
Es gilt
p i oder j = (Ni + Nj) / N = pi + pj
Die Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines von zwei sich gegenseitig ausschließender Ereignissen ist gleich der Summe ihrer Einzelwahrscheinlichkeiten.
Machen wir mit einem Würfel einen ersten Wurf, dann ist die Wahrscheinlichkeit i Augen zu würfeln pi = 1/6. Machen wir einen zweiten Wurf, dann ist dieser unabhängig davon und die Wahrscheinlichkeit j Augen zu würfeln pj = 1/6. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit im ersten Wurf i und im zweiten j Augen zu werfen?
Bei nur einem Würfel haben wir die Wahrscheinlichkeit hypothetisch für alle möglichen Ereignisse als gleich groß angenommen.
Mit der gleichen Berechtigung können wir dies hier natürlich auch tun:
Wenn wir mit dem ersten Wurf eine 1 geworfen haben, dann kann der zweite Wurf eine 1 oder 2 usw. ergeben. Das gleich gilt, wenn wir mit dem ersten Wurf ein 2, 3 usw. gewürfelt haben. Es gibt also 36 Realisierungsmöglichkeiten für dieses System und wir nehmen jeden Systemzustand als gleich wahrscheinlich an). Die Wahrscheinlichkeit
p i und j = 1 / 36 = pi * pj
entspricht offensichtlich dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeit (bei unabhängigen Ereignissen!).
Wer hat zum Begriff beigetragen ?
übernommen und verändert http://www.phillex.de/wahrsch.htm
Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit ist ein Grad der Gewißheit, wobei die Gewißheit unterschiedliche Gründe haben kann.
Nach Platon ergibt bloße Wahrnehmung nicht Wahrheit, sondern Wahrscheinlichkeit (Tim. 78).
Arkesilaos hält die Erkennten der Wahrscheinlichkeit für möglich. Sie soll insbesondere für das Handeln maßgebend sein.
Ebenso wie Arkesilaos hielt Karneades Erkenntnis der Wahrheit für unmöglich, räumte aber ein, dass es Wahrscheinlichkeiten gebe.
Karneades unterschied drei Grade der Wahrscheinlichkeit:
1.das einfach Wahrscheinliche
2.das Wahrscheinliche und Widerspruchsfreie
3.das Wahrscheinliche, Widerspruchsfreie und Prüfbare
Aristoteles studierte bereits Syllogismen mit wahrscheinlichen Urteilen.
Locke unterteilt die Erkenntnisse in Wissen und in wahrscheinliche Kenntnisse. Wissen liegt vor, wenn die Verbindung zweier Ideen nachgewiesen werden kann. Wenn der Zusammenhang zwischen Ideen nur ungenau nachgewiesen werden kann und erst durch Argumente beschrieben werden muß, haben die Kenntnisse nur einen höheren oder niedrigen Grad der Wahrscheinlichkeit.
Hume versteht unter probability den Grad der Gewißheit, dem noch Ungewißheit anhaftet.
Hume unterscheidet:
1.die Wahrscheinlichkeitserkenntnis, die sich auf die Betrachtung des Zufalls gründet, und
2.die Wahrscheinlichkeitserkenntnis aus Ursachen.
Leibniz betrachtete das Fehlen einer Abstufung der Wahrheit nach Wahrscheinlichkeiten als einen Fehler der klassischen Logik. Für ihn ist die Wahrscheinlichkeit ein Maß für die Kenntnis eines Objektes.
Als klassische Wahrscheinlichkeit bezeichnet man die auf Laplace zurückgehende Definition der Wahrscheinlichkeit als Quotient aus der Anzahl der günstigen Fälle und der Anzahl aller möglichen Fälle.
Die statistische Wahrscheinlichkeit entstammt der Erfahrung. Zählt man bei häufiger Wiederholung eines Experimentes, wie oft ein bestimmtes Versuchsergebnis eintritt, und teilt diese Zahl durch die Anzahl der Versuche, so erhält man die relative Häufigkeit des Ereignisses.
Kiesewetter bezeichnet die klassische Wahrscheinlichkeit als logische Wahrscheinlichkeit, Fries und Bernoulli nennen sie mathematische Wahrscheinlichkeit, Windelband nennt sie wissenschaftliche Wahrscheinlichkeit.
Die statistische Wahrscheinlichkeit nennt Kiesewetter reale Wahrscheinlichkeit. Bernoulli nennt sie empirische Wahrscheinlichkeit.
Die philosophische Wahrscheinlichkeit geht nach Fries von allgemeinen Grundsatz aus, die schon aus einem einzigen Fall einen Induktionsschluß ermöglichen. Eine philosophische Wahrscheinlichkeit besteht darin, dass wir eine Behauptung mit ihren Gründen vergleichen und, ohne diese vollständig erhalten zu können, doch überwiegende Gründe dafür haben.
Für die Kohärenztheorie scheint der Wahrscheinlichkeitsbegriff von Volkmann von besonderem Interesse. Er schreibt: "Wir halten für wahr, wovon wir vollkommen überzeugt sind. Kommt kein Prädicat zu diesem absoluten Vorzug, nimmt aber gleichwohl eines von ihnen den übrigen gegenüber den relativ höchsten Klarheitsgrad dauernd ein, dann nennen wir das Urteil, das dieses Prädicat dem Subjecte beilegt, wahrscheinlich" (Lehrb. d. Psychol. II 4, 297). Damit entspricht der Wahrscheinlichkeitsbegriff weitgehend meinem Begriff der Rechtfertigung.
Diesen beiden objektiven Begriffe der Wahrscheinlichkeit (mathematische und statistische Wahrscheinlichkeit) steht die subjektive Wahrscheinlichkeit, d. h. der Grad der Neigung, etwas für wahr zu halten, gegenüber.
Die Unterscheidung von objektiver und subjektiver Wahrscheinlichkeit geht wahrscheinlich auf Hofbauer zurück (Logik, § 419).
Insbesondere Mill vertritt einen subjektiven Wahrscheinlichkeitsbegriff. Für ihn ist Wahrscheinlichkeit "nicht eine Eigenschaft des Ereignisses selbst, sondern ein bloßer Name für die Stärke des Grundes, wonach wir dasselbe erwarten" (Logik II, 67).
In der heutigen Wahrscheinlichkeitstheorie verwendet man heute gewöhnlich keine expliziten Definitionen, sondern Axiomensysteme.
Carnap unterscheidet zwei Begriffe der Wahrscheinlichkeit:
1.der Grad der Bestätigung einer Hypothese durch Tatsachenaussagen,
2.die statistisch ermittelte durchschnittliche Häufigkeit mit der ein bestimmter Fall eintritt.
http://omega.math.albany.edu:8008/JaynesBook.html
Introduction to Probability is a text for a first course in probability. It is a revision of an earlier book written by the second author and published by McGraw Hill. This revision is published by the American Mathematical Society. If you would like to use this book for your course please contact Len Moorehead, lam@ams.org, (401)455-4136 at the AMS.
We will also keep the book on the Web.
You can download the book in Adobe Portable Document Format (pdf). For this you will need the free Acrobat 3.0 Reader and make this a helper for pdf documents. (Note that you must have version 3.0 or later of the Acrobat Reader.) For reading on the screen we recommend that you set the maginfication to 125%.
Our book emphasizes the use of computing to simulate experiments and make computations. We have prepared a set of programs to go with the book. We have Mathematica, Maple, and TrueBASIC versions of these programs. You can download the programs from this location. We also have experimental versions of the programs as Java applets written for us by Julian Devlin. Please contact us if you have any trouble obtaining or running these programs. The answers to the odd-numbered problems are available from this website. We would be happy to provide the solutions to all of the exercises to instructors of courses that use this book. Requests should be sent to jlsnell@dartmouth.edu
We will keep here also a list of errata for the book, answers, and programs. We would appreciate hearing from you concerning additional corrections and suggestions for improvement. Send comments to jlsnell@dartmouth.edu or cgrinst1@swarthmore.edu.
We plan to keep here links to other resources that might be helpful in teaching an introductory probability course. Please let us know if you have references for items that should be listed here.
http://www.psychologie.uni-freiburg.de/signatures/leonhart/skript/node83.html
sehr schön einfach erklärte Grundbegriffe der Stochastik
http://www.psychologie.uni-freiburg.de/signatures/leonhart/skript/skript.html
http://www.harendt.de/plasma/math/wahrerg.htm
http://www.uni-ulm.de/~cschmid/v2000s/webprob/sb2/sb2_2.htm
http://www.mathcs.carleton.edu/probweb/probweb.html
Chance News abstracts current events in the news that use concepts from probability or statistics. The abstracts include possible discussion questions and in many cases links to the full text of the article and other related resources are provided. If you would like to receive Chance News by e-mail send a note to jlsnell@dartmouth.edu.
Written by J. Laurie Snell for the Chance Teacher Guide
April
1, 1997
These are programs to demonstrate basic ideas of probability and statistics that can be run from the Web using one of the standard browsers. We will try to keep here only programs that work and do not crash your computer too often.
This is the homepage for Chance Magazine. This is a magazine of the American Statistical Association published by Springer-Verlag. Chance Magazine may be considered the "Scientific American" of probability and statistics.
A source for all that's new in Interacting Particle Systems. Each week you find a new and beautiful graphical picture and the recipe that produced it. Show your students what fun they can have if they continue their study of probability.
Here you will find a Mathematica program to assist in the study of renewal theory discussed in terms of a passenger arriving at a bus stop. The user inputs the interarrival time. The program then simulates the process and graphs the empirical distributions for the interarrival time, the time since the last bus, the time until the next bus and the time until the next bus given the time since the last bus. The program also simulates the related Gott-Cave method for estimating the future livetime of a pheonomenon when we know the current lifetime of this phenomenon. See Chance News 9.03 and 9.04 and 9.05 for a discussion of the Gotts-Cave problem.
Don Piele has here Mathematica notebooks for each of the chapters of our book. The notebooks implement the programs used in the book. Students are asked to run the programs and to answer questions related to the output. The workbooks are designed to allow the students to carry out simulations and calculations without writing programs though the code for the basic programs are provided. Under Special Topics you will find Mathematica notebooks related to interesting probability problems. At this time this includes the Wheaties box top problem and a game based on a variation of the Musical Chairs. While these workbooks were suggested by our book they would be a useful supplement to any introductory probability book.
World Wide Web resources for teaching a probability course.
Robin Lock does a good job of maintaining a website which provides information about other websites that are useful for teaching an introductory statistics course. There does not seem to be a similar website for teaching a first probability course. These remarks are meant to indicate some sources that can help in teaching a basic probability course.
Phil Pollett at the University of Queensland established the website The Probability Web to provide links to web resources for probability. This website has been taken over by Bob Dobrow at Clarkson University has made significant contributions to the site including addiing a unit on the teaching of probability.
An interactive probability book is provided by Keil Siegrist at the University of Alabama at Huntsville at his "Virtual Laboratories in Probability and Statistics". This book has a calculus prerequisite. It starts with a chapter on probability, followed by a chapter on statistics, and then a chapter on special models such as geometric probability, Poisson processes, and interacting particle systems. Siegrist has written applets to go with each topic discussed in the book.
Of course, statistics books have discussions of probability concepts and use applets to help the students understand these concepts. Particularly good examples of this are: HyperStat by David Lane at Rice University, Surfstat by John Dear at the University of Newcastle, SticiGui by T. B. Stark at U.C.Berkeley, the DAU stat refresher developed at George Mason University, "Seing Statistics" by Gary McClelland and Cyberstats by Jessica Utts and others. The latter two books are commercial products.
Applets written by Webster West and Todd Ogden for the Cyberstats project are available from Webster West's website. Individual applets that are particularly useful in teaching a probability course are: Binomial probabilities (Balasubramanian Narasimhan), Normal approximation to the binomial distribution (David Lane) Central Limit Theorem (Webster West), and Brownian motion (Charlie Geyer), Shangrong Deng at Southern State Polytech University has developed a series of applets for his Introductory Probability and Statistics course. The CUWU Statistics Program at the Univerisity of Illinois also has some interesting applets. David Harris is building a web site: Planet: probabilistic learning activities
Probability is full of surprises and the web does well by us here. Susan Holmes at Stanford University has a web site titled "Probability by Suprises". Here we find applets related to interesting probability paradoxes and problems such as: the birthday problem, the box-top problem, the hat-check problem and others. Holmes also has a detailed syllabus of her basic probability course with links to web resources used in the course. Alexander Bogomolny at his company Cut the Knot also provides a discussion of a number of puzzling math problems illustrated with Applets. His list including: Benford's law, the Buffon needle problem, Simpson's paradox, Bertrand's paradox and others. The applets of Holmes and Bogomolny have, like a fine restaurant, excellent "presentations."
More traditional probability books are also available on the web."Introduction to Probability" by Charles Grinstead and Laurie Snell is an example of such a book. This book includes applets and also Mathematica and Maple programs related to the text..Stefan Waner and Steven Costenoble at Hofstra University have an on-line probability book "Calculus Applied to Probability and Statistics for Liberal Arts and Business Majors" which deals exclusively continuous probability.
With the new software for putting video's on the web we can expect to have lectures by exceptional teachers available on the web. One example of this is the Kemeny Finite Mathematics Lectures by John G. Kemeny as Kemeny taught his last Finite Mathematics course at Dartmouth. These lectures were done before the new technology so are not technically up to current videos, but you can see a great lecturer in action. The lectures are based on the probability chapter in the first Finite Mathematics book by Kemeny, Snell,and Thompson which, thanks to Peter Doyle, is also available on the web. The Chance Lectures at the Chance website include videos of lectures and audios appropriate for a basic probability course.
Bayesian analysis is another topic that relates both to probability and statistics. The book Probability Theory: the Logic of Science by E. T. Jaynes is a very original book available on the web. Jaynes emphasizes the Bayesian and maximum entropy methods. Jim Albert at Bowling State University provides information about courses he has taught using Baysian methods at his website. Albert has also written a book Workshop Statistics: Discovery with Data, A Bayesian Approach (with Allan Rossman). Albert has available from his website a number of Applets used in the book. Software to carry out Bayes calculations can be found from John C. Pezzullo's Web Pages that Perform Statistical Calculations. An applet illustrating test of hypothesis using a Bayesian approach can be found at the Dartmouth MATC site. The Institute of Statistics and Decision Sciences at Duke University maintains a Bayesian Sites page where you will find links to Bayesian software and abstracts of recent papers on Bayesian statistics. Two other Bayesian web site are: the International Society for Bayesian Analysis and the Section on Bayesian Statistical Sciences of the American Statistical Society.
There are a lot of interesting probability problems that you can find on the web. For example, the company Tripod has such a set of such problems called probability puzzles. Another such collection also called probability puzzles along with their solutions comes from the archives of the recreational puzzle listserve as edited for the web by Arlet Ottens. Here you will find some interesting variations on old problems such as the birthday problem. The most interesting problem we found was to show that the digits of pi are not random by exhibiting a system to make money betting on the digits that have not yet been calculated. Still another set of probability and statistics problems with solutions is given by the Seanet company.
It is natural to use Mathematica and Maple in probability courses. Ellott Tanis at Hope College describes the uses of Maple in a probability or statistics course. particularly in discussing convolutions of distributions and the Central Limit Theorem. David Neal at Western Kentucky University has developed a series of probability projects using Mathematica.
Using computer software in teaching a probability course. Computer software has made a major change in the way probability and statistics is taught. The biggest impact has been made by the ability to easily simulate chance experiments. In statistics this has allowed important probability concepts such as the Binomial distribution, law of large numbers, and Central Limit Theorem to be understood by the students without having to spend time developing formal probability and combinatorial theory. Many of the reform statistics courses have taken advantage of this. Probability courses naturally continue to teach formal probability theory but use simulations to help the students understand the formal mathematical model for probability. Most elementary statistical packages have the ability to do simple simulations with their software. Fathom includes some standard computer language instructions that permit students to simulate more complicated experiments such as toss a coin until the first head comes up. Minitab includes procedures essentially equivalent to a programming language and so quite general simulations can be carried out using Minitab. The resampling software consists of easy to use macros which allow the students to simulate a wide variety of problems. They demonstrate this by solving all the problems in Mostellar's book: 50 Challenging Probability problems by simulation.
Of course one of the greatest strengths of the web is the ability to find very current information probability theory that cannot yet be found in textbooks but might be fun to use in a probability course. The classic example of this is David Griffeath's "Primordial Soup Kitchen". For the past ten years David has provided each week a new beautiful colored pictures showing how simple cellular automaton rules create fascinating structure from random initial states. Another good example of this is the "Web Site for Perfectly Random Sampling with Markov Chains" which provides the latest information on the use of Markov Chain simulations which have recently found numerous applications in physics, statistics, and computer science.