Die Zahl Pi =  3,1415926535897932384626433832795.      zurück


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Man findet Pi auf der Tastatur unter p im Schriftfont Symbol:  p


In HTML schreibt man:  <FONT face=Symbol size=2>p</FONT>



Definition:

Die Kreiszahl Pi ist das

Verhältnis vom Umfang u  zum Durchmesser d eines Kreises:

                    Pi = u / d

Hat man einen Fahrradreifen mit einem Durchmesser von einem Meter , so rollt der Reifen bei einer Umdrehung 3,14 m weit.

Die Zahl Pi ist dimensionslos

Pi ist auch das Verhältnis der Fläche eines Kreises zum Quadrat des Radius des Kreises.

                   Pi = F /  ( r * r)






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Berechnung des Kreisumfangs und der Kreisfläche mit bekanntem Wert Pi

Gambas Programm

Siehe /7/prgkreisuf.htm

PUBLIC SUB Button1_Click()

DIM r AS Float

DIM f AS Float

DIM u AS Float

r = Val(TextBox1.Text)

f = Pi*r*r

u = 2*Pi*r

PRINT "Radius = " & r

PRINT "Flaeche = " & f

PRINT "Umfang = " & u

END

Visual Basic Programm:

Sub Befehl1_Click ()

End Sub


Berechnung der Zahl Pi

Wie kann man sich der Zahl Pi nähern ?

Kreis : mit gleichseitigem Dreieck , Quadrat , Fünfeck etc von innen und außen.

Berechnung des Innenumfangs und des Außenumfangs der Vielecke

Berechnung der Innen- und Außenfläche der Vielecke.

Je höher die Zahl der Ecken , desto näher am Kreis ist man dann.


Ganz schnelle Lösung in Basic

Pi = 4*Atn(1)

Unendliche Reihen zur Berechnung von Pi

Mit folgender Rechenanweisung nähert man sich der Zahl Pi/ 2

Allgemein gilt:

Pi / 2 = 2*2*4*4*6*6*8*8*10*10*  ...  / 1*3*3*5*5*7*7*9*9*11....

Eine weitere schöne unendliche Reihe mit Pi im Ergebnis ist folgende:

1 / 1 + 1 / 4 + 1 / 9 + 1 / 16 + 1 / 25 + 1 / 36 .... 1 / n*n = Pi*Pi / 6

Eine weitere schöne unendliche Reihe mit Pi im Ergebnis ist folgende:

1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 ....+ 1/n - 1/(n-2) = Pi / 4


Links zur Zahl Pi

Visual Basic Programm zur Berechnung von Pi

http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/PI/index.htm

http://www.mathsoft.com/asolve/constant/pi/pi.html

http://xavier.gourdon.free.fr/Constants/Pi/pi.html

http://www.multimania.com/bgourevitch/

http://www.cecm.sfu.ca/organics/papers/borwein/index.html

http://members.nbci.com/phywo/Mathematik/kreiszahl_pi.html

CECM: Why Pi?

Olov Windelius: Pi Page

Roy Williams Clickery: The Pi Page

The Uselessness of Pi and its irrational friends

Neal Carothers: A Common Book of Pi

Elia's Pi Page

Exploratorium Pi Page

Loren Duane Hanson: Pi Page

Willem van Ravenstein: De Geschiedenis van Pi (in Dutch)

Nick Johnson-Hill: Pi Page

Dara Hazeghi: Pi Page

Paul's Page of Pi

Pi Nerd's Page

Ramon Llorens: Pi Page

Dale Winham: Pi Page

Akte Pi

Piotr Kulinski: Pi Page

Pi music Page
Harry J. Smith: Pi Page

Pi CLUBS / Pi DAY

Olle's   100-Club

Olle's 1000-Club

Club of the Friends of Pi!

The Pi Club Home Page

Pi Club

http://www.lupi.ch/PiSites/PiSites.html in deutsch !


"Pi Aapproximation Day Greeting Cards" Page (USA)


Literatur zur Zahl Pi

Arndt, Jörg & Haenel, Christoph.: Pi - Algorithmen, Computer, Arithmetik (mit CD-ROM), 250 Seiten, DM 78, ISBN 3-540-63419-3, Springer-Verlag 1998 (german)

Beckmann, Petr: A history of Pi - 5. ed. - Boulder, Colo. : Golem Pr., 1982. - 202 p. - ISBN 0-911762-18-3.

Berggren, Lennart; Borwein, Jonathan M., and Borwein, Peter: Pi: A Source Book, Springer-Verlag.

Blatner, David: The Joy of Pi, 1997

Borwein, Jonathan M.: Pi and the AGM: a study in analytic number theory and computational complexity - 1987, Canadian Math. Soc. series of monographs and advanced texts.

Gnädinger, Franz: Im Haus der Seschat, 1998 (german)

Hobson, E. W.: Squaring the circle - London, 1953.

Le nombre Pi - editor: Association pour le Développement de la Culture Scientifique (ADCS), BP 222, F-80002 Amiens Cedex 1 FRANCE - June 1992.

Zeitschriftenartikel:

Internet Artikel

Orginaltexte

Sehr lesenswerter Artikel

nzz

Chaotische Dynamik in der Kreiszahl PI ***

Wie viel Zufall steckt in den transzendenten Zahlen?

In der unendlichen Ziffernfolge der Zahl Pi scheint der Zufall zu regieren. Auf der Suche nach einem strengen Beweis hierfür haben amerikanische Forscher ungewöhnliche Wege eingeschlagen und eine Verbindung zur Chaostheorie hergestellt.

Die Quadratur des Kreises ist eines der antiken Rätsel, die auch heute noch manche Amateure in den Bann ziehen. Doch das Problem ist längst gelöst: 1882 bewies Ferdinand Lindemann, dass man mit Zirkel und Lineal nur Zahlenabschnitte konstruieren kann, die entweder rational oder algebraisch sind. Die Zahl pi aber ist transzendent, zeigte Lindemann. Was Mathematiker schon lange vermutet hatten, wurde damit zur Gewissheit: Die Quadratur des Kreises ist unmöglich, weil pi niemals durch endlich viele rationale Operationen erzeugt werden kann.

Endlicher oder unendlicher Zufall?

Die Zahl pi ist neben e (der Basis des natürlichen Logarithmus) zwar die bekannteste transzendente Zahl; sie ist aber bei weitem kein Sonderfall. Fast die gesamte Zahlengerade ist mit solchen Zahlen überdeckt, und nur sporadisch tauchen in diesem Meer der Transzendenz Bruchzahlen und ganze Zahlen auf. Wie die algebraischen Zahlen (etwa Wurzel 2) gehören auch die transzendenten Zahlen zu den sogenannten irrationalen Zahlen, deren Dezimalentwicklung weder abbricht noch irgendwann periodisch wird.

Mathematiker vermuten stark, dass sich die Ziffernfolgen solcher Zahlen bis ins Unendliche fortsetzen, ohne jemals in ein voraussagbares Muster zu fallen. Bisher können sie diese Eigenschaft jedoch nicht beweisen - ein wunder Punkt im Reich der Zahlentheorie. Es wäre beispielsweise denkbar, dass pi nach Trillionen von zufällig aufeinander folgenden Dezimalzahlen nur noch aus einer alternierenden Folge der Ziffern 5 und 7 besteht. Eben das soll der lange gesuchte Beweis ausschliessen.

Die Geschichte der Zahl pi begann im dritten vorchristlichen Jahrhundert mit Archimedes. Er war es, der entdeckte, dass sowohl der Umfang eines Kreises als auch seine Fläche mit der Zahl pi zusammenhängen und dass diese Zahl auch bei der Berechnung von Kugelfläche und -volumen ins Spiel kommt. Archimedes bewies auch, dass pi zwar kleiner als 3+ 1/7, aber grösser als 3+ 10/71 sein muss, indem er ein Polygon mit 96 Ecken durch raffinierte Näherungsverfahren berechnete.

Mathematiker haben seitdem viele verschiedene Summenformeln gefunden, die mit wachsender Zahl der Terme immer näher an den «wirklichen» Wert der Kreiszahl herankommen, ohne ihn je zu erreichen. Eine Gruppe um Yasumasa Kanada von der Universität Tokio hat pi vor zwei Jahren auf 206 Milliarden Stellen nach dem Komma berechnet, der heutige Rekord soll bei 500 Milliarden Nachkommastellen liegen.

Praktische Gründe sind nicht das Motiv für solche Parforceleistungen: Bereits 40 Nachkommastellen würden ausreichen, um den Umfang der Milchstrasse bis auf die Dicke eines Protons genau zu berechnen, schreibt der Mathematiker David Bailey vom Lawrence Berkeley National Laboratory, einer der Pioniere auf dem Gebiet der Berechnung von pi. Die Suche nach weiteren Stellen von pi ist jedoch ein hervorragender Leistungs- und Fehlertest für Superrechner: Wenn zwei Maschinen unabhängig voneinander über Milliarden von Nachkommastellen zum gleichen Ergebnis kommen, dann zeigt dies, dass beide Computer Trillionen von Operationen fehlerlos ausführen.

Daneben gibt es aber auch ein prinzipielles Interesse am Verlauf der Ziffernfolge von pi. Bis heute sind sechs Milliarden Stellen von p mit statistischen Tests analysiert worden. Die Ziffernfolge wirkt so zufällig, als wäre sie mit einem idealen zehnseitigen Würfel erzeugt worden.

Folglich eignet sich p, um Pseudo-Zufallszahlen für Modellierungen, Simulationen oder kryptographische Anwendungen zu generieren. Wirklich verlässlich sind solche «Rezepte» allerdings nur dann, wenn sich die Zufälligkeit in der Abfolge der Ziffern mathematisch streng beweisen liesse.

Wie normal ist p?

Das Schlüsselwort für einen solchen Beweis lautet Normalität und bedeutet, dass jede Ziffer mit der Häufigkeit 0,1 vorkommt, jede Zweiergruppe mit einem Hundertstel, jede Dreiergruppe mit einem Tausendstel und so weiter. Die erste Bedingung allein könnte auch durch eine rationale Zahl erfüllt werden, beispielsweise die periodische Zahl 0,01234567890123456789 . . . Aber schon an der zweiten Bedingung scheitert eine solche Zahl, denn von den Zweiergruppen kommen zwar 01, 12 oder 23 vor, aber niemals 02 oder 15. Noch interessanter wird die Frage der Normalität, wenn man verlangt, dass diese Eigenschaft in allen Darstellungen gelten soll, also im binären, im hexadezimalen System oder bezüglich einer beliebigen anderen Basis.

David Bailey könnte dem lange gesuchten Beweis der Normalität von pi nun einen Schritt nähergekommen sein. Gemeinsam mit dem theoretischen Physiker Richard Crandall untersuchte er, wie sich aufeinander folgende Zifferngruppen bestimmter Länge von p verhalten. Nimmt man beispielsweise von p=3,1415926535 . . . aufeinander folgende Dreiergruppen und schreibt sie als Nachkommastellen einer Null, so würde man Zahlen erhalten, die zwischen 0,000 und 0,999 hin und her springen; in diesem Fall beginnt es mit 0,314, gefolgt von 0,141, dann 0,415 und so fort. Bailey und Crandall konnten beweisen, dass die Normalität von p automatisch aus einer anderen Tatsache folgen muss: Wenn sich diese künstlich hergestellten Zahlenfolgen im Intervall zwischen null und eins erratisch bewegen, dann ist pi normal. Dieses Phänomen erratischer Bewegung ist aus der Theorie chaotischer Systeme wohlbekannt.

Bailey und Crandall bauten diese Arbeit auf einer Formel auf, die Bailey zusammen mit Peter Borwein und Simon Plouffe 1996 gefunden hatte und die es erlaubt, gezielt die n-te Stelle von pi zu berechnen, ohne die vorhergehenden Stellen zu kennen. Noch haben die beiden Forscher nicht bewiesen, dass sich Folgen jeder Länge erratisch verhalten, also chaotisch und regellos zwischen den Grenzen umher tanzen, wie es Bailey ausdrückt, aber dieser Beweis scheint in Reichweite zu sein. Mathematiker bewerten diese Arbeit als sehr wichtig, weil sie eine alte Frage der Zahlentheorie in einen neuen Zusammenhang stellt, der vorher noch nicht gesehen wurde, erklärt Gisbert Wüstholz, Zahlentheoretiker an der ETH Zürich. Alexander Zaikin, der an der Universität Potsdam nichtlineare, chaotische Systeme untersucht, zweifelt zwar an einem direkten Nutzen oder einer baldigen Anwendung im Rahmen der Chaosforschung, aber inspirierend könnten diese neuen Erkenntnisse schon sein, meint er.

Wetteifern um Komplexität

Die Normalität ist nicht das einzige Mass für die Komplexität irrationaler Zahlen. In den sechziger Jahren entstand im Rahmen der Computereuphorie die Idee der Algorithmischen Information: Eine Zahl galt als umso komplexer, je länger das Programm in Maschinensprache sein musste, um diese Zahl zu erzeugen. pi ist demnach gar nicht besonders komplex, denn die Summenformeln lassen sich in ein paar Zeilen und einer unendlichen Schleife einprogrammieren.

Aufsehen erregte vor wenigen Jahren auch das Konzept der approximativen Entropie, das Rudolf Kalman, emeritierter Mathematiker der ETH Zürich und Steve Pincus, freischaffender Mathematiker aus den USA, entwickelt hatten. Sie untersuchten die Häufigkeitsverteilung von Zahlengruppen in einer Zahl und ihre Abweichung von der absoluten Gleichverteilung. Damit hatten sie ein Mass für die Voraussagbarkeit der Zahlenfolge in der Hand.

Wenn beispielsweise in der Binärdarstellung einer Zahl die Ziffernfolge 0101 häufiger mit 0 als mit 1 fortgesetzt wird, dann gibt es bereits eine gewisse Struktur, die Vorhersagen erlaubt. Kalman und Pincus haben die approximative Entropie von einigen bekannten Zahlen wie pi, e und Wurzel2 berechnet und kamen zu einem merkwürdigen Ergebnis: pi nahm im Dezimalsystem den ersten Platz  ein, gefolgt von Wurzel2 und e. In der binären Darstellung ändert sich die Reihenfolge jedoch! pi und e sind gleichermassen komplex, und erst dann folgt Wurzel2.

Dass die Komplexität einer Zahl von der Darstellung abhängt, gibt zu denken und ist bis heute nicht verstanden. Möglich ist, dass die approximative Entropie ein Mass ist, das nicht viel weiterführt.

Andererseits betonen Pincus und Kalman, dass dieses Konzept nützlich sei, um beispielsweise im Herzschlag Abweichungen vom gesunden Mass an zufälligen Schwankungen aufzuspüren. Sie schlugen 1997 zahlreiche Anwendungen in Medizin und Technik vor und verteilten auch die Programme zur Berechnung der approximativen Entropie. Allerdings hat sich die approximative Entropie nicht so durchgesetzt, wie begeisterte Berichte in populärwissenschaftlichen Zeitschriften erwarten liessen. Jürgen Kurths, der als Physiker an der Universität Potsdam die nichtlinearen und chaotischen Anteile in Hirnströmen und Herzrhythmen analysiert, hält dies sogar für einen sehr einseitigen Zugang.

David Bailey und Richard Crandall arbeiten zurzeit daran, die chaotische Dynamik von pi mit der bestehenden Theorie zur Erzeugung von Pseudo-Zufallszahlen zusammenzubringen. Hier seien in Kürze einige neue Erkenntnisse zu erwarten, verspricht Bailey. Natürlich könne auch dieser Weg in eine Sackgasse führen, schränkt er ein; dennoch ist er optimistisch. Seine Arbeit hat immerhin eine neue Tür zu einem alten Problem geöffnet, und damit stehen auch die Werkzeuge der Chaostheorie plötzlich zur Verfügung.

Antonia Rötger 31. Oktober 2001