Definition des Begriffes Struktur           zurück

Achtung dieser Text ist noch in Arbeit und ist noch ziemlich unstrukturiert !

Struktur

Einleitung:

Wortfeld zum Thema Struktur , Organisation

Mathematik = Strukturwissenschaft

Graph , Graphentheorie

Strukturchemie , Kristallchemie

kristallin - amorph

Ordnung und Unordnung

Ordnung bzw. Organisation

Strukturalismus

strukturelles Problem in der Landespolitik

DNA Struktur , Strukturanalyse , Proteinstruktur , primär,sekundär , tertiär

Figuren

Pseudostrukturen

http://www.mathematik.tu-bs.de/dm/index.html

Kurze Definitionen von Struktur

Definition aus der Systemtheorie (CASTI, 1979) und der Theorie der Selbstorganisation (EBELING, 1976):

Unter Struktur verstehen man die Art der Zusammensetzung eines Systems aus Elementen und die Menge der Relationen bzw. Operationen, welche die Elemente miteinander verknüpfen.

Strukturbildung also die Herausbildung eines Ordnungszustandes, ist in diesem Sinne mit einer Verminderung der Entropie im Vergleich zu einem Bezugszustand derselben Energie verbunden.

Wo findet man Strukturen ?

Fangen wir mit der Erklärung des Begriffes Struktur zunächst mit leicht einsehbaren Aussagen aus dem heutigen Alltagsleben an.

Struktur im praktischen Alltag:             

Wo findet man offensichtlich keine Struktur ?

Wo wird Struktur neu produziert ?

Was kann als Strukturerzeuger dienen ?

Strukturbildung also die Herausbildung eines Ordnungszustandes, ist in diesem Sinne mit einer Verminderung der Entropie im Vergleich zu einem Bezugszustand derselben Energie verbunden.

Literatur

http://www.eduvinet.de/gebhardt/stochastik/Struktursg.html

Wo geht Struktur verloren ?

Welche Arten von Strukturen gibt es ?

Wo bleibt Struktur erhalten ?

strukturelle Stabilität

Wenn man die Stabilität eines Systems unter der Gesichtspunkt der Dynamik, d. h. der Einflüsse auf die zeitliche Entwicklung betrachtet, dann muß man unterscheiden zwischen Einflüssen, die lediglich den Anfangszustand der Bewegung ändern, die eigentlichen Bewegungsgesetze aber unverändert lassen, und solchen, bei denen die Bewegungsgesetze geändert werden.

Wenn sich die Bewegungsgesetze ändern, dann ändert sich in der Regel auch die Bewegung. Oft sind die Änderungen aber nur so, daß sich die Bewegungsart kaum ändert. Z. B. wird aus einer kreisförmigen Bahn im Zustandstraum nicht plötzlich eine geschlossene Bahn mit einem Knoten. Wenn die Bahnen, die vor den Änderung existierten, glatt in die Bahnen nach der Änderung überführt werden können, dann nennt man die Dynamik strukturell stabil. "Glatt" bedeutet in diesem Zusammenhang u.a. "ohne Sprünge" und "ohne Kreuzungen".

Statt von einer strukturell stabilen Dynamik zu sprechen, sagt man auch oft, das System sei strukturell stabil. Im Zusammenhang der Dynamik gibt es hier selten Verwechslungen. Wenn man aber unter Struktur des Systems die Art seines Aufbaus aus Teilsystemen, aus Systembausteinen versteht, dann muß man die Stabilität der Systemstruktur von der strukturellen Stabilität der Dynamik unterscheiden. Wenn eine System dynamisch strukturell instabil ist, muß die Struktur seines Aufbaues nicht unbedingt ändern.

Quantitative Beschäftigung mit dem Begriff Struktur

Beispiele Struktur :

Phänomene der Struktur- und Musterbildung

Ein Charakteristikum der uns umgebenden Materie ist die scheinbar spontane Bildung von makroskopischen Strukturen (statisch oder dynamisch).

Beispiele:

Eine physikalische Teilmenge der aufgelisteten Beispiele läßt sich klassifizieren in

Schöne Beispiele für mathematische Strukturen

Beispiele von Pseudostrukturen

Physikalische Klassifizierung der Ursachen von Strukturbildungseffekten:

(i) Instabilität des homogenen Zustands unter Nichtgleichgewichts-Bedingungen.

Beispiel:

Konvektion in der Bratpfanne

(ii) Stabilität gewisser angeregter Zustände in Gleichgewichtssystemen

Beispiel:

Sebstlokalisierte Anregungen bei Oberflächenwellen

Beispiele für spontane Strukturbildung mit Alltagsbezug:

Man untersucht , wobei die Temperaturdifferenz bezeichnet und die Heizleistung.

Bilder zum Thema Struktur

Kochsche Schneekristalle

Allgemeines zu Kristallen und amorphen Festkörpern

Übernommen von http://www.techfak.uni-kiel.de/matwis/amat/mw1_ge/makeindex.html

Ein fester Körper besteht aus unbeweglichen, fest miteinander verbundenen Atomen - sonst hätten wir eine Flüssigkeit oder ein Gas.

Im einfachsten Fall nur einer Atomsorte können wir uns den Festkörper - z.B. die elementaren Metalle, oder einen Diamanten - als Anordnung von Kugeln vostellen, die sich berühren müssen, d.h. gegenseitige Bindungen aufweisen.

Damit gibt es nur zwei Möglichkeiten einer raumfüllenden Anordnung:

Eine streng regelmäßige Struktur = kristalliner Aufbau, wie hier schematisch und zweidimensional gezeigt

Eine regellose Struktur = amorpher Aufbau

Die amorphe Struktur zeigt deutlich weniger Raumerfüllung - die Zahl der Atome pro cm2 ist geringer als in der kristallinen Struktur, der Kristall. Dies gilt auch im Dreidimensionalen. Die größte Dichte von Kugeln pro cm3; die sogenannte dichteste Kugelpackung , ist nur im kristallinen Zustand erreichbar.

Beispiel einer Pseudostruktur

Sternbilder um den Polarstern: Die Sterne sind ganz verschieden weit von der Erde entfernt.

Nur von der Erde aus scheinen sie eine zusammenhängede Struktur zu bilden.

Weitere Sätze zum Thema Struktur

Struktur

Die auf Lebensnot zugeschnittene Existenz des Menschen ist der Grund für die Festigkeit der Machtstrukturen.

Die Struktur unserer Sprache zwingt uns dauernd Dingbegriffe auf.

Im kreativen Prozess durchlaufen geläufige Strukturen ein Stadium vorübergehender Desorganisation.

Zentrale, dezentrale, hierarchische Strukturen.

Im Strukturalismus besteht die Tendenz das Subjekt zu eliminieren.

In der Struktur ist Zweckmäßigkeit wirksam.

Entwicklung ist nur möglich, wo ein Strukturzusammenhang zugrunde liegt.

Organisationsstruktur (Jede Gruppe hat eine Struktur/Hierachie und Disziplin)

Unstrukturiertheit erzeugt Unsicherheit.

Ohne Orientierung in Zeit und Raum entstrukturiert sich die Innenwelt.

Bestimmte Denkstrukturen lassen sich nicht beliebig von einer Sprache in die andere übersetzen.

Der Zusammenhang ist der Sinn.

Maßstab und Regeln sind nur dann sinnvoll, wenn sie für eine bestimmte Struktur zutreffen. In anderen Strukturen sind sie sinnlos und unanwendbar.

Die Unterscheidung zwischen Zufälligem und Ereignis ist die zwischen Ereignis und Struktur.

Die Struktur vereinigt das Allgemeine mit dem Speziellen.

Die Tatsachen sind die Struktur, die wir der Wirklichkeit auferlegen.

Das System wird von Einheiten gebildet, die zueinander im Oppositition stehen.

Das Strukturmodell ist eine Vereinfachungsoperation, die es ermöglicht, verschiedene Phänomene zu vereinheitlichen.

Die Struktur gehört nicht zur empirischen Beobachtung.

Wo noch keine Struktur vorausbestimmt ist, können noch alle Möglichkeiten eintreten.

Ein System ist etwas, das man auch als Struktur bezeichnen könnte.

Strukturelle Gewalt als indirekte Gewalt, Gewalt. die von niemandem persönlich ausgeübt wird.

Strukturen sind stärker, als Normen.

Struktur als Nicht-Raum und Nicht-Zeit.

In der Struktur gibt es kein unabhängiges Subjekt.

Strukturen sind Formen.

Dogmatismus ist kein Denkinhalt, sondern eine Denkstruktur.

Die Struktur der Psyche ist die psychische Struktur aller Menschen.

Geistige Gesundheit wird als genaue Entsprechung der Struktur der Wirklichkeit und der Struktur der Sprache definiert.

Gewalt wird in der Hierarchie nur noch dann eingesetzt, wenn die Struktur gefährdet ist.

In der Herrschaftsstruktur ist die Gewalt zu einem Strukturbegriff geworden.

Strukturelle Gewalt ist das Wesen staatlicher Macht.

Strukturzusammenhänge sind notwendig statisch. Sie beschreiben Beziehungen in einer aus ihrem prozessualen Zusammenhang herausgelösten Struktur.

Herrschaftsatrukturen sind Ausgangspunkt für die meisten Konflikte und Streitigkeiten.

Universale Strukturen machen eine Subjektivität unmöglich.

Nicht so sehr eine Struktur, als ein Prozess.

Einer der strukturellen Hauptbestandteile der ganzen Menschheit ist der Staat.

Elementarteilchen lassen sich nicht isoliert feststellen, sondern erweisen sich immer wieder als zusammengesetzte Struktur.

Wir finden die objektive Wirklichkeit nicht in den Substanzen, sondern das eigentliche Wesen der Dinge besteht in einer Struktur.

Veränderung ideologischer Bewußtseinsstrukturen.

Revolution ist der Moment, wo die Struktur der Autorität aufgebrochen wird, so daß sich eine freie Ordnung bilden kann.

In der Natur gibt es keine isolierten Elemente, sondern alles hängt mit allem zusammen.

Für den Strukturalismus ist die Struktur eine Grundgegebenheit.

Man braucht seine Aggressionen nicht offen zugeben, wenn man für sein Tun geltende Machtstrukturen benützt.

zu einer Struktur erstarrt, die über die Zeit hinausreicht.

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http://www.sprachkritik.de ® info:webmaster / 30.3. 1999

Fragen zum Thema Struktur:

Weitere Begriffe zum Thema Struktur:

Information , Muster , Hierarchie , Organisation , Ordnung , Zufall , Negentropie

Strukturwissenschaften

Man hat die Wissenschaftszweige, die sich mit der Informationstheorie, mit der Verarbeitung und Speicherung von Information befassen, als Strukturwissenschaften zusammengefaßt. Zu diesen Strukturwissenschaften zählen beispielsweise

Wer hat zum Strukturbegriff beigetragen ?

Begriffsklärung Synergetik (nach H. Haken )

Ziel dieser Disziplin:

Erscheinungen in verschiedenen Gebieten werden unter einem gemeinsamen Gesichtspunkt behandelt (Physik, Chemie, Biologie, Soziologie, Medizin,...).

Haken:

,,Ich habe diese Disziplin Synergetik genannt. Was wir untersuchen, ist die gemeinsame Wirkung vieler Untersysteme (meist derselben Art oder einiger unterschiedlicher Arten), so daß Struktur und Funktion auf einer makroskopischen Skala entsteht.``

"Das Ordnungsmuster der Tradierung besteht in einem universellen Zusammenhang, was sich darin äußert, daß es keinen organischen Strukturzustand gibt, der ohne seine Vorgänger denkbar ist"(RIEDL, 1975).

Heutige Experten

alle Mathematiker sind Strukturexperten

Ebeling

Prof. Dr. Ulrich Behn

Major Research Interests

Empfehlenswerte Literatur zum Thema Struktur:

U. Müller Anorganische Strukturchemie Teubner

Krebs Anorganische Kristallchemie Enke

Wells Structural Inorganic Chemistry Oxford

R. C. Evans

Einführung in die Kristallchemie de Gruyter, 1976

Die wichtigste Quelle für Daten zu Strukturen ist:

- ICSD-Datenbank FIZ Karlsruhe

David Peak

Komplexität

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Internetseiten zum Thema Struktur

http://hbksun17.fzk.de:8080/PMT/kom3e.html

http://didaktik.phy.uni-bayreuth.de/fachdid3/node1.html

http://132.230.13.25/zintl.html

http://www.mathematik.tu-bs.de/dm/index.html

Schöne Beispiele für mathematische Strukturen

http://math.rice.edu/~lanius/frac/

Orginaltexte:

"Lange bevor es Menschen auf Erden gab, wuchsen in der Erdkruste schon die Kristalle. Eines Tages sah ein Mensch zum ersten Mal so ein glitzerndes Stückchen Regelmäßigkeit liegen, oder er stieß darauf mit seiner steinernen Hacke, und es brach ab und fiel vor seine Füße, und er hob es auf und betrachtete es in seiner offenen Hand, und er wunderte sich." M.C.Escher

Aus

Struktur und Ordnung

Der Strukturbegriff spielt sowohl in der modernen Wissenschaft, als auch im täglichen Leben eine zentrale Rolle. Kaum ein Terminus wird so häufig gebraucht, wenngleich nicht überall in derselben Bedeutung.

Wir verwenden hier den Begriff "Struktur" nicht im umgangssprachlichen Sinne, sondern in der Bedeutung, die er in den Grundlagenwissenschaften hat - etwa der Mathematik, der Systemtheorie (CASTI, 1979) und der Theorie der Selbstorganisation (EBELING, 1976):

Unter Struktur verstehen wir die Art der Zusammensetzung eines Systems aus Elementen und die Menge der Relationen bzw. Operationen, welche die Elemente miteinander verknüpfen.

Der Strukturbegriff abstrahiert also von der konkreten Natur der Elemente und der Relationen zwischen ihnen.

Er betrachtet nur ,

Mathematik

In der modernen Mathematik spielt der Strukturbegriff heute eine ganz zentrale Rolle. Die Forschergruppe BOURBAKI hat in dem Kollektivwerk "Elemente der Mathematik" das gesamte Gebäude der Mathematik systematisch als Lehre von den Strukturen aufgebaut.

Die Grundannahme ist dabei der Mengenbegriff, weiterhin wird die Existenz einer Menge unterscheidbarer Elemente vorausgesetzt.

Die Beziehung Element - Menge ist der erste und wichtigste Aspekt einer Struktur , dazu kommen dann eine Reihe von Relationen und Operationen, wie sie in verschiedenen Lehrbüchern der Mengenlehre oder der Algebra erklärt sind.

Physik und Chemie

In der Physik und Chemie kommt dem Strukturbegriff bei der Beschreibung der Materie eine große Bedeutung zu. Zum Beispiel verstehen wir unter der Struktur eines Kristalls, etwa eines Diamanten (Abb. 1.1), einen bestimmten Typ der räumlichen Anordnung - ein Gitter - von Kohlenstoffatomen. In konkreter Form ist eine Diamantstruktur z.B.ein Edelstein, der in einen Ring gefaßt ist. Wir sprechen aber auch von der Diamantstruktur, wenn es sich um einen Industriediamanten handelt, und sogar dann, wenn ein Stoff vorliegt, in dessen Gitterknoten nicht Kohlenstoffatome, sondern Atome anderer Elemente sitzen.

Abb. 1.1 Schematische Darstellung der Diamantstruktur

Diamant-Struktur

In der kubischen Diamant-Struktur (Schichtenfolge ABCABC...) sind alle Kohlenstoffatome tetraedrisch von vier weiteren C-Atomen koordiniert (CN=4). Es entsteht ein Raumnetz mit Sechsringen aus C-Atomen. Alle Sechsringe liegen in der Sesselkonformation vor. Die Raumerfüllung beträgt 33 %.

Vorkommen

In der Diamant-Struktur kristallisieren:

Verwandtschaften

Vergleiche: hexagonale Diamant-Struktur (Schichtenfolge ABAB...)

http://132.230.13.25/Vorlesung/Strukturtypen/elemente_diamant.html

Das ganze Gebiet der Kristalle wird auch als Strukturchemie bezeichnet .

In der (anorganischen) Strukturchemie gehört die Kenntnis einfacher Strukturtypen zur 'Verständigungsbasis'.

Datenbank der Strukturchemie

Mit dem Internet Plugin VRML kann man sich solche Strukturen sehr schön dreidimensional von allen Seiten ansehen.

Der Strukturbegriff erfaßt also relativ abstrakte Eigenschaften eines Systems. Hierin liegt seine Stärke; er ist auf andere Systeme übertragbar und . ermöglicht Analogieschlüsse. Über die Bedeutung solcher Analogien für die Wissenschafi schreibt KONRAD LORENZ (1983): "Ohne das unentbehrliche Einteilungsprinzip der Abstraktion von Typen. wäre es unserer Erkenntnis unmöglich, Ordnung und Übersichtlichkeit in die erdrückende Mannigfaltigkeit der uns umgebenden Formen,insbesondere der Lebensformen zu bringen

Eine anschauliche Darstellung einer Struktur kann durch einen Graph erfolgen, der die Elemente und ihre verschiedenen Verknüpfungen repräntiert (HARARY, NORMAN &CARTWRIGHT, 1965; LAUE, 1970; CASTI, 1979; EBELING & FEISTEL,1982, 1986).

Dies kann zum Beispiel in der Chemie ein katalytisches Netzwerk von chemischen Reaktionen sein (Abb. 1.2) oder in der Biologie ein ökologisches Netzwerk (Abb. 1.3)

Abb. 1.2 Graphische Darstellung einer Struktur bestehend aus 8 Elementen mit 14 Kopplungen, welche ein katalytisches Netzwerk darstellt

8 9 10 . . .            4. Ebene: Carnivoren

6. 7.                     3. Ebene: Carnivoren -

4. . 5                     2. Ebene: Herbivoren -

123 .                    I. Ebene: Herbata

Abb. 1.3 Graph eines ökologischen Netzwerkes

Allgemein kann man zwischen

Räumliche Strukturen

Der Protoptyp der räumlichen Strukturen sind die schon erwähnten Kristalle. Die Elemente der Menge sind hier die Atome, die Relationen sind die relativen Lagen der Atome im Gitter und die Operationen die räum- lichen Translationen. Die räumliche Struktur der Kristalle kann mit Hilfe einer Analyse von Beugungsbildern untersucht werden, wie zuerst v. LAUE und BRAGG gezeigt haben. Später haben BERNAL, CROWFOOT-HODGKIN & PERUTZ mit analogen Methoden auch die komplizierte Raumstruktur von Biomolekülen aufklären können.

Zeitliche Strukturen

Zeitliche Strukturen sind mit der Dynamik des Systems verknüpft, die durch diskrete oder kontinuierliche Abbildungen ausgedrückt werden kann. Kausale Relationen,Reversibilität oder Irreversibilität (Umkehrbarkeit bzw. Nichtumkehrbarkeit des Ablaufes ) sind dabei wichtige Aspekte (NICOLIS & PRIGOGINE, 1987; EBELING et al. , 1990; PRIGOGINE & STENGERS,1990).

Der Begriff "Struktur" steht in einem engen Zusammenhang mit den polaren Begriffen Ordnung und Unordnung. Nach BOLTZMANN kann die Wahrscheinlichkeit bzw. Unwahrscheinlichkeit für das Auftreten von Ordnungs- und Unordnungszuständen zur Charakterisierung dieser beiden Begriffe verwendet werden, wobei diese Wahrscheinlichkeit durch die Entropie ausgedrückt wird.

Strukturbildung also die Herausbildung eines Ordnungszustandes, ist in diesem Sinne mit einer Verminderung der Entropie im Vergleich zu einem Bezugszustand derselben Energie verbunden. Auf diesen Aspekt werden im Abschnitt 1.5 noch genauer eingehen.

Ordnung kann auch durch Symmetrien ausgedrückt werden, z.B. durch Periodizität einer linearen Struktur durch Translationsinvarianz eines Kristallgitters oder durch Invarianz einer Abbildung gegenüber Zeitumkehr oder diskrete Zeitverschiebung.

Wenn die Symmetrie des Systems vermindert ( ?) wird, kann man auch von Strukturbildung oder Bildung von Ordnung sprechen.

Biologie

Auch in der Biologie spielt der Ordnungsbegriff eine zentrale Rolle. RIEDL (1975) unterscheidet in seinem Buch "Ordnung des Lebendigen" folgende vier Grundtypen komplexer Ordnung:

Unter Norm versteht RIEDL die Verwendung genormter, standardisierter Bauteile. Wir finden hier den Elementbegriff der obigen Strukturdefinition wieder.

Hierarchie bedeutet, daß die Bausteine in einem System von ineinander geschachtelten Rahmen angeordnet sind.

Interdependenz meint die wechselseitigen Abhängigkeiten der Merkmale, während

Tradierung den historischen Aspekt erfaßt: "Das Ordnungsmuster der Tradierung besteht in einem universellen Zusammenhang, was sich darin äußert, daß es keinen organischen Strukturzustand gibt, der ohne seine Vorgänger denkbar ist"(RIEDL, 1975).

Andere biologische Ordnungskonzepte wurden zum Beispiel von LWOFF(1968) in dessen Buch "Biological Order" oder von VARELA (1979) in "Principles of Biological Autonomy" vorgeschlagen. ROSEN (1991) entwickelt in seinem Buch "Life Itself", den Ideen von RASHEVSKY folgend, das Konzept einer "relationalen Biologie". Von FONTANA & Buss (1994) wird ein ebenfalls sehr allgemeiner Zugang zum Problem der biologischen Ordnung bzw. Organisation vorgeschlagen, bei dem der Lambda Kalkül von CHURCH den Ausgangspunkt bildet. Mit  "The Origins of Order" hat KAUFFMAN (1993) ein integratives Buch geschrieben, das Ansätze zur biologischen Strukturbildung unter dem Dach der DARWINschen Ideen zusammenfaßt. Basierend auf Selbstorganisation und Selektion in der Evolution, wird hier eine umfassende Analyse der biologischen Ordnung gegeben, die moderne physikalisch-chemische und systemtheoretische Erkenntnisse berücksichtigt. Gemessen an diesen Ansätzen zur Strukturbildung in der Biologie,ist unser Anliegen viel bescheidener, zugleich aber allgemeiner: Wir werden uns nicht mit Strukturen schlechthin und auch nicht mit biologischen Strukturen im besonderen befassen, sondern wir versuchen, den Begriff der "komplexen Strukturen" aus einer eher grundsätzlichen Perspektive zu charakterisieren. Dabei sollen uns die fundamentalen Konzepte "Entropie" und "Information" helfen. In dIesem Kapitel wird zunachst das EntropIe-Konzept erngeführt. , Zuvor aber sind einige allgemeine Anmerkungen zum Problem der Komplexität notwendig.

1.2 Was sind komplexe Strukturen?

Die Einsichten der modernen Wissenschaft haben zu einem gesteigerten Interesse an komplexen Systemen und am Begriff der Komplexität geführt. Dies belegen auch zahllose Beispiele, wo das Attribut komplex in die jeweiligen Titel naturwissenschaftlicher Zeitschriften, Bücher, Konferenzen und Institutionen aufgenommen wurde. [Der Komplexitätsbegriff spielt heute eine zentrale Rolle bei der Beschreibung hochorganisierter Systeme (CRAMER, 1988;ATMANSPACHER et al1992; RIEDL, 1987, 1991, 1997), obwohl es für ihn bisher keine einheitliche Definition gibt. Wir vertreten die Auffassung, daß die verschiedenen Komplexitätsdefinitionen bisher nur einzelne Seiten der Komplexität erfassen. Eine Begriffsbestimmung für "komplexe Strukturen" muß aber allgemein genug sein, um nicht nur physikalisch-chemische Strukturen, die uns komplex erscheinen, wie etwa das Wetter, sondern auch die Strukturen der "Ordnung des Lebendigen" mit einzubeziehen.

Was meinen wir mit dem Begriff "komplexe Strukturen"? Beginnen wir zunächst ganz von vorn:

Das Wort komplex entstammt dem Lateinischen und bedeutet soviel wie Zusammengefaßtes oder Gesamtheit. Eine qualitative Begriffsbestimmung könnte dann lauten:

Als komplex bezeichnen wir (aus vielen Teilen zusammengesetzte) ganzheitliche Strukturen, die durch viele (hierarchisch geordnete) Relationen bzw. Operationen miteinander verknüpft sind.

Damit schließen wir uns den Auffassungen an, die etwa durch SIMON (1962), GRASSBERGER (1989), sowie LAI & GREBOGI (1996) vertreten werden. In diesem Sinne formulieren wir ein einfaches, wenn auch operativ nicht eindeutig umzusetzendes Komplexitätsmaß, auf das wir zurückkommen werden: kann die wir als ei , ~' D " K 1 "t .. " St kt " It " h " d A hl d I . h

b Entropie Irreversil ~e omp en at e~ner ru ur sp~ege StC ~n er nza er g etc en zw. , .

" " . ei handelt es sich Zei verschtedenen Elemente, ~n der Anzahl der gle~chen bzw.

versch~edenen Re- b. . 1 " d O " " " d A hl d H" h" "d illert slld ( ANDER at~onen un

perat~onen soune ~n er nza er ~erarc ~e- nen ~ er. . Inungs fm strengeren Sinne liegt

Komplexität dann vor, wenn die Anzahl der Ebenen sehr groß (unendlich) ist. Wir halten den B Rah rung "Entstehung Es stellt sich die Frage, wie eine solche Begriffsbestimmung von Komplexität fÜr "komplexe Stn Ilkästc mit dem physikalischen Weltbild zusammenpaßt. Von ihrer Entstehung und und "Strukturen

ihrer 'n:oadition her betrachtete die Physik im Geiste der Aufklärung na- formuliert

worden 1ationsf turwissenschaftliche Objekte analytisch, d.h. zergliedernd. Im

Rahmen der Emer enzbe iffes lorizont Physik werden Gesetzmäßigkeiten formuliert,

welche die Physiker "funda- kers ~AINZ: (1~ dlauflei mental" nennen, weil es keine

tieferliegenden Gesetzmäßigkeiten gibt, auf die schen Rahmenbed Z wir jene

zurückführen könnten. Es sind die Gesetze, welche die Eigenschaf- Q t ch .e C eltge

uan en elll1 , ten und die Dynamik der elementaren Teilchen und Felder regeln. Auf

der th . S .010 eorle zu OZl -Listenf Ebene der elementaren Teilchen ist die

Quantenmechanik als fundamental untersuchte Syst~ zu betrachten. Die Bezeichnung

"fundamental" ist insofern relativ bzw. hi- Mak I k""l ( romo e u e Fi storisch, als wir uns

in einem ständig fortschreitenden Prozeß der Forschung G ad h d' r e wac sen eJ

befinden, in dem scheinbar "elementare" Teilchen in Bestandteile zerlegt t. h . t d d s

1SC 18 gera e Anze und damit als zusammengesetzt erkannt werden. Ein Beispiel

dafür ist die hierarchisch höhe . Erkenntnis, daß die sogenannten Elementarteilchen

aus Quarks zusammen- 1992). Gittern gesetzt sind. Weiterhin gehören zu den

"fundamentalen" Gesetzen solche, . . d dd welche generelle Verbote für bestimmte

Prozesse formulieren. Beispiele dafür DIe Welt, dIe uns ar la "t..t . E ch sind die

Hauptsätze der Physik. XI a eller rs 4 dieser Erscheinur Durch Konzentration auf

Systeme mit wenigen Freiheitsgraden wurden im LING & FEISTEL Rahmen der

klassischen und Quantenmechanik zunächst relativ kleine Systeme in den

Vordergrund gestellt. Eine Behandlung großer Systeme wurde 1.2 Was sind komplexe

Strukturen? 19 erstmalig im Rahmen der Statistischen Physik und anderer Theorien

sta- tistischer Ensembles möglich. Allerdings wurde hier durch die Anwendung von

zentralen Grenzwertsätzen die Untersuchung komplexer Systeme im ei- gentlichen

Sinne weitgehend ausgeschlossen. Trotzdem muß man die Statistische Physik, die wir

BOLTZMANN, GmBs, PLANCK, EHRENFEST, EINSTEIN , SMOLUCHOWSKI, BOSE,

FERMI, VON NEUMANN und anderen bedeutenden Forschern verdanken, als den groß-

artigen ersten Entwurf einer Theorie komplexer Systeme betrachten. Im Rahmen der

Statistischen Physik wurde erstmalig und unter Verwendung mathematisch strenger

Methoden gezeigt, daß ein zusammengesetztes großesr System im Vergleich zum

Teilsystem qualitativ neue Eigenschaften zeigen kann, die wir als ernergente

Eigenschaften bezeichnen. So sind zum Beispiel Entropie, Irreversibilität, Härte

typische Eigenschaften großer Systeme; da- bei handelt es sich um Eigenschaften, die

für kleine System gar nicht defi- niert sind (ANDERSON, 1972; LANDSBERG, 1981,

1984; EBELING et al. , 1990B). Wir halten den Begriff dei~;;;~yür so zentral, daß wir

die Forde- rung "Entstehung emergenter Eigenschaften" mit in die Begriffsbildung für

"komplexe Strukturen" aufnehmen möchten. Die Konzepte "Emergenz" und "Strukturen

höherer Ordnung" sind inzwischen auch mathematisch formuliert worden (BAAS,

1994, 1997). Hinsichtlich der Bedeutung des Emergenzbegriffes stimmen wir der

Auffassung des Wissenschaftstheoreti- kers MAINZER (1992) zu, der ausführt: "Unter

den neuen systemtheoreti- schen Rahmenbedingungen könnte die Hierarchie der

Fächer von Physik, Quantenchemie, Chemie, Biochemie, Biologie über Ökologie und

Evolutions- theorie zu Soziologie, Ökonomie und Psychologie fortgesetzt werden,

deren untersuchte Systeme der Elementarteilchen, Atome, Moleküle, Kristalle,

Makromoleküle, Gene, Zellen, Organismen, Populationen usw. sich durch Grade

wachsender Komplexität auszeichnen." Weiter heißt es: "Charakteri- stisch ist gerade

die Emergenz von neuen Strukturen und Gestalten auf den hierarchisch höheren

Stufen, die vorher nicht vorhanden sind" (MAINZER, 1992). Die Welt, die uns umgibt,

ist von äußerster Komplexität, wobei die Komple- xität einer Erscheinung durchaus

höher sein kann als die Komplexität der dieser Erscheinung zugrunde liegenden

Gesetze (WUKETITS, 1983; EBE- LING & FEISTEL, 1994). Wir erinnern in diesem

Zusammenhang auch an die fundamentalen Arbeiten von ~H~~ VONNEUMAN-N~l~,

der im Rahmen der Entwicklung einer Theorie selbstreproduzierender Automaten 20 1

Komplexität und Entropie einen speziellen Automaten konstruieren konnte, der in der

Lage ist, durch daß die Leb.enskr~ fehlerhafte Selbstreproduktion Automaten

herzustellen, die komplexer sind toten Matene bema als das Urbild. In der Theorie des

deterministischen Chaos, die auf die Arbei- Unsere Auffassung I ten von POINCARE

aufbaut, konnte gezeigt werden, daß mit relativeinfachen zwischen den beideI Regeln

sehr komplexe Strukturen generiert werden können (MAY, 1976; men (EBELING & F

,s- ~C)~ MANDELBROT, 1977, 1982; FEIGENBAUM, 1978; PEITGEN & RICHTER, ,

1986) - auch fraktale Strukturen sind im Sinne der obigen Begri:ffsbestim- 1. Die

fundamental mung als komplex anzusehen. sie sind auch für ku Die fundamentalen

Gesetze der Physik sind von der Art, daß sie Möglichkei- 2. Komplexe strn ten für die

zeitliche Entwicklung von Systemen formulieren. Diese Möglich- mehr als die Summ

keiten können je nach Anfangs- und Randbedingungen realisiert werden. Zum Beispiel

verbieten die Gesetze der Mechanik keineswegs, daß etwa die 3. Die ernergentenl Erde

im entgegengesetzten Sinne um die Sonne rotiert. Dieses und viele Kegel von Einschrl

andere Beispiele führen uns zu der Erfahrung, daß die Kenntnis der fun- xität wächst

die Mi damentalen Gesetze der Physik allein nicht ausreicht, um in unserer Welt 4.

Komplexe StruJ I zu bestehen. Die Gesetze sind durch Anfangsbedingungen und

Randbedin- gen sind irn Evolu1 lungs .. d Ph ik. Ch . d B. 1 . h b . . , gungen zu

erganzen, un ys , elnle un 10 ogle a en emen eIgenen Merkmal. Rahm Gegenstand

und einen eigenen Gesetzesbereich (LUDWIG, 1976; PRIMAS, 1991; FONTANA, 1997).

Der letzte Punkt I kästch Zwar bestehen die Dinge, mit denen wir zu tun haben,

letztlich aus elemen- das Blickfeld: ihrel taren Teilchen und Feldern, aber dieser

Aspekt ist häufig ohne Relevanz. Wir historische Gesicht 1tlons! betrachten unser Auto

nicht als System von elementaren Teilchen und Fel- xer Strukturen. ~ )rizont dern,

sondern als Entität, als Gebrauchsgegenstand. Da wir unsere Welt als ~~~~-'i2;1~

Ilauflel eine Einheit begreifen möchten, entsteht die grundlegende Frage: In welcher

Ihrer Entstehung) Zeitg Beziehung stehen die Gesetze für das Elementare und für das

Komplexe ? se, zu der die Strul Zu dieser Frage gibt es zwei extreme Positionen:

sondern auch für 1 Listen! mobile, Flugzeuge 1. Alle Gesetze, die für komplexe

Systeme gültig sind, lassen sich vollständig daß das oben diskl Fig aus den

fundamentalen Gesetzen der Physik herleiten. historischen Bezlll . .. . . . der Regel

kann rru Anzei 2. Jede Ebene der Komplexltat hat Ihre eIgenen, emergenten Gesetze.

Die I d. .d 1 d iJ. . . . n IVI ua-un emergenten Gesetze komplexer Systeme smd

IrreduzIbel. Gittern Der erste Standpunkt, auch als mechanischer Determinismus

bezeichnet, 1 3 K ] jarddlal wurde bereits von den Mechanikern des 18. und 19.

Jahrhunderts entwickelt, . omp wobei wir an erster Stelle den französischen

Astronomen und Mathematiker PIERRE SIMON LAPLACE (1749-1827) nennen. Als

Gegenströmung zu dieser Die Welt, in der ~ Auffassung wurde der Vitalismus

entwickelt, der für lebende Systeme die 17-20 Milliarden , Existenz einer besonderen

Lebenskraft annahm. Die Vitalisten postulierten, daß die Lebenskraft von außen

hinzukommt und sich gewissermaßen der toten Materie bemächtigt. Unsere

Auffassung zum Verhältnis elementarer und komplexer Gesetze liegt zwischen den

beiden o.g. Extremen. Sie besteht aus folgenden Grundannah- men (EBELING &

FEISTEL, 1994): 1. Die fundamentalen Gesetze der Physik können niemals verletzt

werden, sie sind auch für komplexe Systeme uneingeschränkt gültig. 2. Komplexe

Strukturen haben emergente Eigenschaften, das Ganze ist mehr als die Summe seiner

Teile. 3. Die emergenten Gesetze der Dynamik komplexer Strukturen bilden einen

Kegel von Einschränkungen, den "Gesetzeskegel" . Mit steigender Komple- xität wächst

die Menge der gesetzmäßigen Einschränkungen. 4. Komplexe Strukturen und die

Gesetzmäßigkeiten, denen sie unterlie- gen, sind im Evolutionsprozeß entstanden.

Ihre Historizität ist ihr zentrales Merkmal. Der letzte Punkt rückt einen besonderen

Aspekt komplexer Strukturen in das Blickfeld: ihren historischen Charakter. Nach

unserer Auffassung ist der historische Gesichtspunkt ein zentraler Punkt für die

Untersuchung komple- xer Strukturen. ~ast alle komplexen Strukturen, mit Sicherheit

alle hoch- ~r~~ ~tr~ture~, .hab:~ ~ine Ont~-~ne~ eine Individualgeschic te Ihrer

Entstehung) und eine Phylogenese ( eine Stammesgeschichte der Klas- - - - - se, zu

der die Struktur gehört). Das gilt nicht nur für die biologischen Wesen, sondern auch

für komplexe technische Strukturen wie Eisenbahnen, Auto- mobile, Flugzeuge und

Computer. Wir sind somit zu dem Schluß gelangt, daß das oben diskutierte

Grundmuster der "Tradierung" , was ja gerade den historischen Bezug meint, ein

Grundmuster komplexer Strukturen ist. In der Regel kann man komplexe Strukturen

nur im Zusammenhang mit ihrer Individual- und ihrer Stammesgeschichte verstehen.

1.3 Komplexität als Phänomen ~ Die Welt, in der wir leben, hat eine komplizierte

Geschichte. Sie ist vor etwa 17-20 Milliarden Jahren aus einer sehr heißen, dichten

und völlig unstruk- turierten Urmaterie entstanden. Diese Urmaterie war in einem

Zustande, der dem absoluten Chaos der alten Griechen oder dem Tohu wa bohu der

zu verstehen, und ein! alten Juden sehr nahe kam. In dieser frühen Phase der

Entwicklung wurde unkorrelierte Struktur die Dynamik der Evolution ausschließlich

durch fundamentale Gesetze be- gewicht, und die regul stimmt, denn es gab ja noch

keine komplexen Systeme. Aber unsere Welt war ihrer Komplexität aD( von Anfang an

"kreativ" , sie war auf der Basis der vorliegenden Anfangs- ehe" des Betrachters I und

Randbedingungen und der gültigen fundamentalen Gesetzmäßigkeiten D. G . ht unkt ~

ieser esiC sp ~G in der Lage, komplexe Strukturen zu erschaffen. Sie besaß die

Fähigkeit zur th t. h St d eore iSC en an p Selbststrukturierung und

Selbstorganisation. Am (vorläufigen) Ende dieses b hr .b d .. zu esc ei en; enn

Prozesses stehen Leben und Mensch, Okosysteme und Gesellschaft. Zuf~ 11 . . von

ällsereigmsseI Was ist - von einem physikalischen Standpunkt aus gesehen - unsere

in- die jeweiligen BildpUJ tuitive Vorstellung von einer komplexen Struktur? Wir

vergleichen dazu Molekularbewegung. gedanklich drei Klassen von Strukturen (Abb.

1.4): einzelnen Punkte od handelt es sich nicht 1. eine periodische Struktur, zum

Beispiel in zwei räumlichen Dimensionen --- ~ ein Gitter auf einem Blatt Papier oder in

drei Dimensionen einen Kristall, Dagegen enthalten di Z muster eine Reihe be 2. eine

unkorrelierte Struktur , zum Beispiel in zwei Dimensionen regellos man im Ornament ,

unQ angeordnete Punkte auf dem Blatt Papier oder in drei Dimensionen eine viel

verwickelter ist , Flüssigkeit, in der die Moleküle vollständig regellose Positionen

haben und la von räumlichen 1 Rah sich ungeordnet bewegen, chen regulären Stru

<äst 3. eine komplexe Struktur , zum Beispiel in zwei Dimensionen ein ornamen-

feststellen. Derartigl tales Muster auf einem Blatt Papier oder in drei Dimensionen ein

turbulentes Verständnis von Ko ltion Strömungsmuster in einer Flüssigkeit, das

ebenfalls gewisse Regelmäßigkei- gen. ,rizo ten aufweist. In diesem Sinne hat lauf!

relierte oder schwad ~eitQ . . . ~~ die eine Hierarchi~ . . . , . . ~~~~ Dementsprechen

SlIJ .iste . : . . . . ~~~~](~ plexer als periodisc . ' . . ~~~4~~~~ facher Art (z.B. peJ F ..

\ . . . . ~~WA~~~~ Periodizitäten bzw" . .. . .iai~~i~ nes hierarchischen : Anz . . . . .

~.i;l~~ b~~Pi~;ie~ 3itter . . . ~r sio~~~~:~J§ dd Abb. 1.4 Beispiele für

zweidimensionale (a) periodische, (b) unkorrelierte und (c) kom- Die Regeln ornam, ar

I d nk . d. plexe Strukturen e en wir an ie Symmetrie in Nat1

Sicherlich wird man das Gitter oder den Kristall nicht als komplexe Struk- genstand

spezieller tur bezeichnen, schließlich ist die Struktur dieser Systeme relativeinfach zu

verstehen, und einfach zu beschreiben. In welcher Weise man nun die le unkorrelierte

Struktur, zum Beispiel die Flüssigkeit im thermischen Gleich- e- gewicht, und die

reguläre Struktur einer turbulenten Strömung hinsichtlich I.r ihrer Komplexität

anordnet, scheint auf den ersten Blick nur " Ansichtssa- s- che" des Betrachters zu

sein. n Dieser Gesichtspunkt hält aber einer genaueren Analyse nicht stand. Vom Ir

theoretischen Standpunkt aus ist das unkorrelierte Muster viel einfacher ~ zu

beschreiben; denn es entsteht prinzipiell aus einer unabhängigen Folge von

Zufallsereignissen- etwa einer Serie von Münzwürfen, deren Ergebnisse 1- die

jeweiligen Bildpunkte schwarz oder weiß einfarben, oder einer zufcilligen u

Molekularbewegung. Zwar erfordert eine detaillierte Angabe der Lage der einzelnen

Punkte oder Moleküle eine sehr lange Beschreibung, aber dabei handelt es sich nicht

um Regeln, sondern um Detailinfonnationen: - n -- - - Dagegen enthalten die

ornamentale Struktur oder das turbulente StrÖmungs- muster eine Reihe

bemerkenswerter Regelmäßigkeiten, zum Beispiel erkennt 18 man im Ornament

verschiedene Symmetrien und Symmetriebrüche. Noch e viel verwickelter ist die

turbulente Struktur , die eine ( fast unendliche) Ska- d la von räumlichen und

zeitlichen Regularitäten zeigt. Man kann in sol- chen regulären Strukturen eine ganze

Hierarchie von Ordnungsrelationen .- feststellen. Derartige Strukturen entsprechen

also auch unserem intuitiven S Verständnis von Komplexität eher als zufcillige oder

periodische Anordnun- gen. In diesem Sinne hat sich zunehmend die Auffassung

durchgesetzt, daß unkor- relierte oder schwach korrelierte Strukturen weniger

komplex sind als solche, die eine Hierarchie von Korrelationen zwischen ihren

Elementen aufweisen. Dementsprechen sind ornamentale Muster oder turbulente

Strömungen kom- plexer als periodische Strukturen, gerade weil die Korrelationen

nicht ein- facher Art (z.B. periodisch) sind, sondern weil sie ein ganzes Spektrum von

Periodizitäten bzw. Regeln beinhalten. Den Gedanken, daß die Existenz ei- /

n~~~~ch~n S-t-rukt~s~hem~ zent~al ffir den-B~~mt "'-- h~t der Pionier

d~K~lexitätstheorie HERBERT A. SIMON in die D~kus- sio~~~~:~~IMON, 1962). Die

Regeln ornamentaler Muster sind eher Gegenstand der Kunst; dabei denken wir an die

Werke von M.C. ESCHER oder an die Untersuchung zur Symmetrie in Natur und Kunst

von HAHN (1989). Sie sind aber auch Ge- genstand spezieller Zweige der Mathematik,

wir erinnern etwa an KEPLERS Arbeiten über die Gestalt von Schneeflocken oder an

die Untersuchungen J von WEYL (1952) zur Symmetrie, die Arbeiten von CAGLIOTI

(1983) zu zeigen, auf welche Wei den Beziehungen zwischen gebrochenen

Symmetrien und der Kunst, sowie tuitiven Vorstellung vo die Arbeiten von

MANDELBROT (1977, 1982) und PEITGEN & RICHTER Die vorherigen AusfübJ (1986)

zu fraktalen Strukturen. Die Beziehungen zwischen der Komplexität Nachholbedarf bei

ein solcher Strukturen und ihrer ästhetischen Wirkung werden wir im letzten Eine

umfassende Defu Kapitel dieses Buches diskutieren. komplexer Strukturen Ebenso wie

das Ornament als eine komplexe künstlerische Struktur aufgefaßt Aussagen erlauben,

die werden kann, betrachten viele Physiker eine turbulente Strömung als Proto- ihrer

Komplexität ermc typ einer komplexen physikalischen Struktur - eine Auffassung, der

wir uns hier anschließen wollen. Die Untersuchungen turbulenter Strukturen sind ein

sehr aktueller Gegenstand der Physik und der Strömungstechnik (KLI- 1.4 Quantifizi4

MONTOVICH, 1995). Man weiß heute, daß eine turbulente Struktur ein sehr

kompliziertes räumliches und zeitliches Spektrum besitzt, das viele Kompo- Z d t ~ T

ch . . u en ers en versu nenten enthält und hierarchisch aufgebaut ist, was sich etwa

an der teIlwelSe h.. d. b ühm"" t . ge oren Ie er eD selbstähnliche Struktur der Wirbel

auf verschiedenen Längenskalen zeIgen (1975) K . OLMOGOROV läßt (EBELING &

KLIMONTOVICH, 1984). d~.. ka U . ., er lVIOS uer ruversl, ( Im Sinne eine"r

qualitativen ~egri:ffsbestimmung w~n..~~~~~~~~ dent der New Yorker U II

voneinander zu dem Scl ~ ~uf ;!-i~enßkal~al:ak ~r~werden ~ Hierbei knüpfen wir auch

an mit der Länge des kürzE den Gedanken von SIMON (1962) an, daß hierarchische

Strukturen zentral produziert. Eine äWcl für Komplexität sind. Eine hierarchische

Struktur liegt zum Beispiel auch dem Ver~uch einer Fon bei Fraktalen vor. Fraktale

sind unter anderem durch ihre Selbstähnlich- Mitarbeiter der Zator ( keit

gekennzeichnet, das heißt, die Strukturen sind auf den kleinen Skalen . . f d ße All d. .

Fraktali.t""t . th t. h mustrieren wir die Idee dIeselben wIe au en gro n. er Ings ISt a

eIne ma ema ISC e E. h ft d. 1 Ob . kt . I akt d ""h am Beispiel einer binär. Igensc a , Ie

von rea en Je en mema s ex, son ern nur na erungs- weise erfüllt werden kann. Gerade

die Selbstähnlichkeit muß bei komplexen Strukturen nicht unbedingt gegeben sein,

wir denken hier nur an biolo- p = 0OOO101010 gische Strukturen, bei denen auf der

Ebene der Zellen ganz andere Ord- nungsrelationen existieren als auf der "höheren"

Ebene der Organe. Wenn KOLMOGOROV verknüp komplexe Strukturen eine gewisse

"Fraktal - Ähnlichkeit" aufweisen, dann q, das es gestattet, durl bezieht sich dies in der

Regel auf ihren hierarchischen Aufbau, weniger auf oder rekursive Funktion ihre

strukturelle Selbstähnlichkeit. Fol~ ~eißt zufällig ode ~ Nac . tiven Begriffsbestimmun

lie en komplexe Strukturen g~t, desse~ ~än~e~ür: gewisserm . chen den Extremen

der maximal geordneten perIodi- E~~~he~~ schen) und de maximal un eordneten

unkorrelierten) Str tUien. Damit algon!h~~c~e~~ wird bereits deutlich, daß die

"normale" Boltzmannsche Entropie, welche J ~~ ein Maß für die Unordnung einer

Struktur liefert, nicht im einfachen Sinne ! gleichzeitig ein Maß für Komplexität sein

kann. In Kapitel 3 werden wir zeigen, auf welche Weise geeignet definierte Entropien

dennoch mit der in- tuitiven Vorstellung von Komplexität in Einklang gebracht werden

können. Die vorherigen Ausführungen haben deutlich gemacht, daß noch immer ein

Nachholbedarf bei einer Präzisierung des Begriffes Komplexität besteht. Eine

umfassende Definition müßte einerseits dem intuitiven Verständnis komplexer

Strukturen gerecht werden, andererseits aber auch quantitative Aussagen erlauben,

die den Vergleich unterschiedlicher Systeme hinsichtlich ihrer Komplexität

ermöglichen. 1.4 Quantifizierung der Komplexität Zu den ersten Versuchen, den

Begriff Komplexität quantitativ zu fassen, gehören die berühmten Arbeiten von

KOLMOGOROV (1965) und CHAITIN ~--- ---- (1975). KOLMOGOROV lehrte 1965

bereits als Mathematiker von Weltruf an der-Moskauer Universität, während CHAITIN

ein unbekannter junger stu- dent der New Yorker Universität war. Beide gelangten

etwa 1965 unabhängig voneinander zu dem Schluß, daß die Komplexität eines

Systems von Zeichen mit der Länge des kürzesten Pr~amms~kllftpft1ist,diis ilieses

§yst-;;;;;;- produziert. Eine ~~e Idee w~ sog~ schon 1960 im Zusammenh dem Ve~uch

einer Formalisierung von Theorien von SOLOMONOFF, einem Mitarbeiter der Zator

Company in den USA, formuliert worden. mustrieren wir die Ideen von KOLMOGOROV,

SOLOMONOFF UND CHAITIN am Beispiel einer binären Folge p der Länge 1(P): p =

0000101010000101010111. . . (1.1) KOLMOGOROV verknüpfte den

Komplexitätsbegriff mit einem Programm q, das es gestattet, durch einen

Algorithmus, eine Sprache, eine Maschine oder rekursive Funktionen F die binäre

Folge zu generieren: p = F(q). Eine F~!!!.ißt ~ufallig oder maximal komp-l~x, ~~ es es

kein~rogr~ - q~- g~t, de~sen Länge kür~j~-die der Origin~Q!ge, d.h. l(q) ~ 1(P). /

E~~l he~~~en~ q) ~~(P) gilt . K O~~Q~ ::definierte ~ ~ -> algorithmische K omplexität

der Folge die minImale Länge des erzeugenden Programms

KF(P) = minl(q) ; F(q) =p. (1.2 )

Nach dieser Auffassung ist die Komplexität einer periodischen Folge Andererseits wird

jemand, Information allein durch ei p = 100010001000100010001 . . . (1.3) können.

Die statistischen ] von denen einer Zufallsfolg gering, weil man für diese Folge ein

kurzes Programm schreiben kann. An- --- - - dererseits ist die Komplexität einer Folge,

die durch Werfen einer Münze Diese und andere Schwieril entstand, wie z.B. zur

Quantifizierung des Ko gen bereits hier summaris< p = 010100110100110111100 . .

. , (1.4) ratur verweisen, ehe wir iJ schiedener Komplexitätsm sehr groß, weil man

kein Programm schreiben kann, das wesentlich kürzer E. .

Literatur zum Thema Komplexität

-J.L. Balcazar, J. Diaz, J. Gabarro :

Structural Complexity I, II, Springer 1988 bzw. 1990

-Ch.H. Papadimitriou :

Computational Complexity, Addison-Wesley 1994

-M. Li, P. Vitanyi :

An Introduction to Kolmogorov Complexity and its Applications,

Springer 1997

-verschiedene Originalarbeiten (werden im Seminar bekanntgegeben

zurück     bei Kritik , Ergänzungen , Anregungen  email

Diese WWW-Seite stammt von R.Ho, ReinerHoffmannKC@t-online.de http://home.t-online.de/home/0926161717-0002/home.htm

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ORGANIZATION

the relations that define a system as a unity, and determine the dynamics of interaction and transformations which it may undergo as such a unity, constitute the organization of a system. (Maturana and Varela, 1979)

--------------------------------------------------------------------------------

Has at least three meanings (1) The act of arranging components to form a pattern different from what could occur by chance, by some criterion or better than it was before (see coordination) e.g., conducting a political campaign; (2) A complex complementary conditionality in behavior or in the coexistence of physical or living components (Ashby) as in an ecological system or in such social organizations as a family, a university or a government agency being constituted by its members through conventional rules of conduct, legally recognized and interacted with by observers or by other social organizations; (3) The relations, and processes of communication, including coordination and coorientation among the components or variables of a system that (a) determine the dynamics of interaction and transformations it may undergo in a physical space and (b) constitute (see constitution) its unity whether only for an observer (see allopoiesis) or also for itself (see autopoiesis). In this third and largely cybernetic meaning, the properties of the components that realize a system as a concrete physical entity do not enter the description of that system's organization. It follows that machines, organisms and social forms of vastly different materiality and components may have the same organization. Accordingly, a whole system may be explained in terms of the properties of its components and its organization (see analysis). The use to which a particular system may be put or who created it in the first place is not a feature of its organization. A theory of design (including engineering), management and of (concrete) organizational behavior is concerned with (1). A theory of organizations concerns (2) and attempts to provide generalizations about how cells, or organisms interact or how and why people work together and form larger unities (see general systems theory). cybernetics is concerned and has in fact been considered coextensive with an organization theory which concerns (3) and attempts to provide theories of or a logic for how unities and whole systems can arise or be maintained through the forms of communication (and more complex kinds or interactions and interdependencies) among components without reference to their materiality. The theory of modelling is a direct outgrowth of this organization concept. Like cybernetics generally, an organization theory is not disturbed by the possibility that some organizations may not be realized by man or by nature but it will be informed by the finding that they cannot exist (Ashby). (Krippendorff)

Mithilfe von VRML (Virtual Reality Modeling Language), einem offenen Standardtool fuer die Autorisierung von 3D-Umgebungen, stellen verschiedene Websites mittlerweile Internet-basierte virtuelle Realitaeten bereit. Zu diesen Websites zaehlt unter anderem der Crystal Explorer der University of Michigan, auf der Studenten Kristalle erstellen und untersuchen koennen. (PC AI, April 2001)

Crystal Explorer

(http://msewww.engin.umich.edu:81/CrystalExplorer/ )

Schmelzende Elektronen-Kristalle

Physikern der Universitaet Rostock ist es erstmalig gelungen, die  Entstehung so genannter Wigner-Kristalle im Computer zu simulieren.  Dabei handelt es sich um Kristalle, die nicht aus Atomen bestehen,  sondern lediglich aus Elektronen.

Seit den dreissiger Jahren schon haben Theoretiker die Enstehung  solcher Kristalle vorhergesagt. Bringt man Elektronen in einer Ebene nahe genug zusammen, so bilden sie zunaechst eine "Elektronen- fluessigkeit". Schliesslich ordnen sie sich in konzentrischen Ringen  an, weil dieser Zustand energetisch am guenstigsten ist. Diese Wigner-Kristalle sind experimentell jedoch schwer zu beobachten – bislang konnte lediglich eine Handvoll von Experimenten indirekte Beweise fuer den Prozess liefern.

Das soll sich durch die Simulationen der Rostocker Physiker aendern.  Die Berechnungen zeigen naemlich genau, unter welchen Bedingungen der Uebergang von der Fluessigkeit zum Kristall stattfindet. Die  Experimentalphysiker wissen also kuenftig, wo sie zu suchen haben.

Schneeflocken sind Himmelsbotschaften

Die kunstvollen Eisgebilde geben Auskunft über den Wasserhaushalt in Agrargebieten. Fraktale Schönheit

Von Antonia Rötger  , die Welt

Berlin - Wie eine weiße Decke liegt der frisch gefallene Schnee über der Stadt, unwirklich still ist es, sogar das Geräusch der Schritte wird gedämpft. An den Fenstern mancher Altbauten haben sich über Nacht Eisblumen mit prachtvollen Mustern gebildet. Die kristallene Pracht hat auch Johannes Kepler in Bann geschlagen, den großen Astronomen.

In seiner Abhandlung über die sechseckige Gestalt der Schneeflocken vermutete er bereits im Jahr 1611, dass ihre große Symmetrie die Architektur der Materie widerspiegele. Heute ist bekannt, dass sich Wassermoleküle auf Grund ihrer Bindungswinkel zu sechseckigen Molekülgittern zusammenfinden, der Grundform der Eiskristalle. "Eigentlich gibt es nur zwei wirklich verschiedene ÆKachelmuster' mit sechseckiger Grundform, die eine Ebene lückenlos pflastern können", erklärt die Mathematikerin Brita Nucinkis von der Eidgenössischen Technischen Hochschule in Zürich. Aber Schneeflocken sind nicht an diese Einschränkung gebunden, denn ihre Ränder müssen nicht wie die von sechseckigen Kacheln aneinander passen, sondern können sich zu bizarren Sternen verzweigen.

Bei Temperaturen von minus 12 bis minus 17 Grad Celsius in den Wolkenschichten lagern sich Wassermoleküle aus der Dampfphase bevorzugt an den Spitzen oder an den Kanten eines bereits kristallisierten Eiskeims an, so dass die typisch filigranen Formen entstehen. Die Geometrie von Schneeflocken sei "fraktal", sagen die Mathematiker: Ihre Begrenzungslinien fransen immer mehr aus, je genauer man sie betrachtet. Reale Schneeflocken sind zwischen fünf Millimetern und zwei Zentimetern groß und bestehen meist aus mehreren Kristallen. Eigentlich müssten sie wasserklar und durchsichtig sein, doch die Eiskristalle werfen wie geschliffene Prismen das Licht zurück, und deshalb erscheint Schnee so blendend weiß.

"Jeder Kristall ist ein Meisterwerk, und keine Schneeflocke gleicht der anderen. Wenn sie schmilzt, ist ihre Schönheit unwiederbringlich dahin, ohne eine Spur zu hinterlassen" schrieb Wilson A. Bentley 1925, der als Schneeflockenfotograf in die Wissenschaftsgeschichte einging. Der Landwirt aus Vermont in den USA dokumentierte mit einer selbstentwickelten Kamera mehr als 5000 Formen der zarten Kristalle unter dem Mikroskop. Wissenschaftler studieren die feinsten Strukturen inzwischen auch unter einem Rasterelektronenmikroskop, zum Beispiel am Landwirtschaftlichen Forschungszentrum in Beltsville (USA).

Schneeproben aus dem ganzen Land werden dort auf Korngrößen und Zusammensetzung untersucht und geben über den Wasserhaushalt der Agrargebiete Auskunft. Meteorologen, Klimaforscher und Lawinenkundler arbeiten ebenfalls daran, die Botschaften der Schneeflocken zu entziffern. Denn ihre Gestalt hängt empfindlich von der Temperatur, der Luftfeuchtigkeit, der Windgeschwindigkeit und anderen Faktoren ab. Schneeflocken, so sagte einmal der japanische Physiker Ukiricho Nakaya, würden wie "Briefe aus dem Himmel" zur Erde schweben.

Einführung in die fraktale Geometrie:

math.rice.edu/~lanius/frac/anti.html

www.uni-klu.ac.at

http://www.physik.uni-leipzig.de/~behn/vlsb01.html

Universität Leipzig

Institut für Theoretische Physik

Prof. Dr. Ulrich Behn

Strukturbildung in räumlich ausgedehnten Systemen

Die Vorlesung wendet sich an Studenten der Physik und angrenzender naturwissenschaftlicher Fachrichtungen in höheren Semestern und Doktoranden; Vorkenntnisse aus der Theorie dynamischer Systeme und der Statistischen Physik erleichtern das Verständnis, werden aber nicht unbedingt vorausgesetzt. Sie soll eine Einführung in die Grundlagen der Strukturbildung in räumlich ausgedehnten Systemen geben und zum Studium von Originalliteratur befähigen.

Besprochen werden die Ausbildung kohärenter Strukturen in nichtlinearen Systemen und die spontane Strukturbildung in angetriebenen dissipativen Systemen, insbesondere:

http://www.fz-juelich.de/iff/jdp/struktur.html

Die unendlich vielen Dinge: Strukturbildung und Universalität

Kurzfassung

Die Faszination des Unendlichen, wie der unendlich großen Dinge in der Astrophysik und der unendlich kleinen Dinge in der Elementarteilchenphysik, erwächst auch aus dem Phänomen der unendlich vielen Dinge und ihrer ''Anordnung''. Wie kommt es zu den Sternbildern am Firmament und überhaupt zur gegenwärtigen Ordnung der Himmelskörper im Kosmos? In welchem Sinne zeigt diese Ansammlung von Myriaden von Einzelobjekten überhaupt Ordnung oder Unordnung? Die gesamte uns umgebende irdische Natur besteht letztlich aus nur etwa hundert verschiedenen Bausteinen, den chemischen Elementen, diese jedoch in abermilliardenfacher Ansammlung. Allein die daraus zusammengesetzte ''tote'' Materie finden wir in einer Vielzahl von Zuständen: in Flüssigkeiten, Festkörpern, Kristallen, Gläsern, auch Gasen und Dämpfen, Nordlichtern und Blitzen. Wir finden Steine und Sanddünen, Wolken und Wasserwirbel, wir sehen sie brechen und fliessen, verdampfen und gefrieren in regelmäßigen und unregelmäßigen, kompakten und fraktalen Strukturen.

Welchen Gesetzen folgt die Strukturbildung bei dieser Vielfalt der Natur? Es ist eine der bemerkenswertesten Erkenntnisse der Vielteilchen-Physik der letzten vier Dekaden, dass es eine Universalität der Strukturbildungsgesetze zu geben scheint.

Zustandsänderungen völlig verschiedener physikalisch-chemischer Systeme laufen nach gleichen Gesetzmäßigkeiten ab. Ob Wasser verdampft oder zu Eis gefriert: Änderungen des Aggregatzustandes sind unter natürlichen Bedingungen wohl die dramatischste Veränderung der Eigenschaften der Materie. Erstaunlicherweise stellt man fest, dass sich z.B. die Stärke eines Magneten nahe der sog. Curie-Temperatur nach der gleichen Formel, dem gleichen Skalengesetz, ändert wie der Unterschied der Dichte zwischen einer beliebigen Flüssigkeit und ihrem Dampf nahe der sog. Kritischen Temperatur. Diese ''Universalität'' erlaubt die quantitative Übertragbarkeit von Erkenntnissen zwischen völlig verschiedenen Phänomenen.

Strukturen in Raum und Zeit können auch chaotisch sein. Chaos, etwa bei der Wolkenbildung, entsteht durch das schnelle Anwachsen einer kleinen Störung des physikalischen Systems, welche schließlich das System vollständig erfaßt, ohne es aber zu zerstören. In Vielteilchensystemen ist Chaos die Regel, nicht die Ausnahme! Die Universalitäts-Konzepte der Vielteilchen-Physik haben Methoden geliefert, die Naturgesetzlichkeiten solcher Prozesse modellhaft-mathematisch zu erfassen.

Die praktischen Auswirkungen dieser Erkenntnisse reichen heute von der Wettervorhersage und Klimaforschung bis in die Verkehrsplanung und die Analyse von Börsenkursen. Und die zugrunde liegenden methodischen Konzepte der Problemdurchdringung und Datenanalyse lassen sich auf viele andere, scheinbar fernere Arbeitsfelder übertragen.

Last update: 7.1.2000;

Kontakt: H. Müller-Krumbhaar, Forschungszentrum Jülich,

D-52425 Jülich;

email: h.mueller-krumbhaar@fz-juelich.de

Miniworkshop

Aggregation und Strukturbildung

in Natur und Gesellschaft

Hiermit laden wir alle Interessenten zu einem Workshop zu Problemen der Beschreibung von

Aggregations - und Strukturbildungsprozessen in Natur und Gesellschaft ein. Die Veranstaltung

findet statt am

Fachbereich Physik der Universität Rostock

30. November 2001, 13 Uhr st.

Raum 306, Universitätshauptgebäude, Universitätsplatz 1

Folgende Vorträge sind geplant.

W. Ebeling (Berlin): Aggregation in Systemen von Aktiven Teilchen (30 min)

L. Schimansky-Geier (Berlin): Brownsche Teilchen und mehr (30 min)

F. Schweitzer (Sankt Augustin): Kooperation in Multi-Agenten Systemen (20 min)

J. Möller (Dresden): Strukturbildungsprozesse in Bornitridbeschichtungen unter Einfluß von

Feuchtigkeit (20 min)

R. Feistel (Rostock): Klimafluktuationen vor der Küste Namibias (20 min)

R. Kranold (Rostock): Wachstumskinetik von CuCl- Nanokristallen in NaCl: Numerische

Modellierung und RKWS-Resultate (20 min)

J. Schmelzer (Rostock): Von der Aggregation zur Fragmentation (20 min)

G. Röpke (Rostock): Cluster in der Kernphysik (20 min)

R. Mahnke (Rostock): Cluster auf der Autobahn (20 min)

H. Ulbricht (Rostock): Von Elektrolyten zu Finiten Systemen: Bilanz und Ausblick (30 min)

Im Anschluss ist ein geselliges Beisammensein (mit Imbiss etc.) vorgesehen.

Dr. Jürn Schmelzer Prof. Dr. Gerd Röpke