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Logarithmen

Einleitung

Mit dem Logarithmus kann man sehr große Zahlen übersichtlich und klein machen.

Aus 1 000 000 wird beispielsweise 10^6 ( Sprich 10 hoch 6 = 10 * 10 * 10 * 10 *10 *10)

Dabei ist die Hochzahl 6     der Logarithmus von 1 000 000 zur hier gewählten Basiszahl 10 .

Der Begriff Hochzahl und Exponent sind identisch .

Die Logarithmusfunktion y = logb (x)  liefert für jede beliebige positive Zahl x einen Wert.

So ist der Logarithmus der Zahl 1 234 567 zur Basis 10 gleich log10 (1234567) = 6.09151466408626

Insbesondere für Werte, die sehr klein oder sehr groß sind oder die einen sehr großen Wertebereich einnehmen können, haben sich Logarithmen sehr bewährt.

Da die Logarithmusfunktion mit größer werden x Werten stetig wächst , bleiben logische Zusammenhänge, die für den x Wert gelten meist auch für den Logarithmus von x erhalten.

  • 1 Einleitung
  • 2 Anwendung von Logarithmen
  • 3 Abkürzungen
  • 4 Definition
  • 5 Beachte
  • 6 Rechenregeln, Logarithmengesetze
  • 7 Basisumrechnung
  • 8 Bilder
  • 9 Links

Anwendung von Logarithmen

  • pH = Säurewert von chemischen Lösungen
  • dB = Dezibel = Messung der Lautstärke
  • bit = Informationseinheit = Messung der Informationsmenge
  • zbit = Entropieeinheit  = Maßzahl der Entropie = Menge an Zufall
  • Logarithmuspapier in der Statistik

Abkürzungen

  • exp Exponentialfunktion
  • ln  = loge Natürlicher Logarithmus zur Basis e
  • lg  = log10 Logarithmus zur Basis 10
  • lb  oder ld = log2  Logarithmus zur Basis 2, binärer Logarithmus , dualer Logarithmus
  • logb allgemeiner Logarithmus mit der beliebigen Basis b

Definition

logba ist eine eindeutig bestimmte Zahl y , mit der man b potenzieren muß , um x zu erhalten .

y = logbx  <=>  by = x        oder b^y =x

Beispiel :

  • log10100 = 2 , denn 102 = 100
  • log28 = 3 , denn 23 = 8

Beachte

  • Der Logarithmus ist für 0 und negative Zahlen nicht definiert !
  • dh. x kann nur eine positive Zahl > 0 sein ,  wenn  y = log x
  • y kann von – Unendlich bis + Unendlich reichen
  • beim Programmieren mit Basic gibt es nur eine festgelegte Basis e
  • zur Vermeidung von tiefgestellten Zeichen wird die Zahl, die logarithmiert werden soll,  in Klammern gesetzt.
  • Beispiel Programm:
  • for x = 1 to 10
    • y = log (x)
    • print y
  • next x

Rechenregeln, Logarithmengesetze

logb ( u * v ) = logb u + logb v

Beispiel:

  • log10 ( 10 * 100 ) = log10 10 + log10 100 = 1 + 2 = 3

logb ( u / v ) = logb u – logb v

Beispiel:

  • log10 ( 100 / 10 ) = log10 100 – log10 10 = 2 – 1 = 1

logb (uz) = z * logb u

Beispiel:

  • log10 1002 = 2 * log10 100 = 2 * 2 = 4

logb (u1/z) =   logb (z Ö u) = 1 /z * logb u

Beispiel:

  • log10 2Ö100 = 1/2 * log10 100 = 1/2 * 2 = 1

loga1 = 0

Beispiel:

  • log10 1 = 0        log2 1 = 0        loge 1 = 0

loga a = 1

Beispiel:

  • log10 10 = 1        log2 2 = 1        loge e = e

loga (1/x) = – loga (x)

Beispiel:

  • log10 (1/100) =- log10 (100) = – 2
  • log2 (1/8) =- log2 (8) = – 3

Basisumrechnung

logca = logba / logbc

Beispiel : log108 = log28 / log210  =  ca. 3 / 3,32 = ca. 0,90


Bilder

Abbildung: Funktion y = log2 x

Abbildung der Exponentialfunktion y = 2^x = 2x

Logarithmusfunktion y = log2x


Links

Logarithmusrechner mit Quelltext

http://www.fh-kaernten.ac.at/%7Epester/scripts/Logarithmus1.htm

http://iva.uni-ulm.de/physik/REPETITORIUM/MATHEMATIK/2/02.html

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