N über K: Formel, Wahrscheinlichkeit, Definition und Beispiel – Kombinatorik ohne zurücklegen und ohne Reihenfolge

Definition des Problems Binomialkoeffizient

In der Statistik und Kombinatorik findet man immer wieder folgende Formel:

Was bedeutet N über k ? Es ist die Zahl der Möglichkeiten eine ungeordnete Menge von k Elementen aus einer Menge der Größe N auszuwählen.

Wie viele unterschiedliche Stichproben aus einer Grundgesamtheit gezogen werden können, kann mit den Mitteln der Kombinatorik bestimmt werden. Für die meisten Anwendungen ist eine Berechnung mit dem Binomialkoeffizienten möglich:

Mit der angegebenen Formel (sprich: N über k) läßt sich errechnen, wie viele unterschiedliche Stichproben vom Umfang k aus einer Grundgesamtheit vom Umfang N gebildet werden können, wenn „ohne Zurücklegen“ ausgewählt wird und die Reihenfolge der Stichprobenelemente keine Rolle spielt.

Beispiel

Besteht die Grundgesamtheit aus den N=4 Elementen A, B, C und D, dann können daraus laut Formel 4!/(2!*2!)=6 verschiedene Stichproben vom Umfang n=2 gezogen werden:

AB, AC, AD, BC, BD und CD.

In keiner der sechs Stichproben kommt eines der Elemente doppelt vor (Auswahl ohne Zurücklegen), und die beiden Stichproben AB und BA, die sich durch die Auswahlreihenfolge der Elemente unterscheiden, werden als gleich betrachtet.

Programmcode

Sub Befehl1_Click ()

N = 4
k = 2
F = 1
For x = 1 To N
F = F * x
Next x
nf = F
F = 1
For x = 1 to k
F = F * x
next x
nk = F
F = 1
For x = 1 to (n- k)
F = F * x
next x
nmk = F
nuk = nf / nmk / nk

End Sub

Binomialverteilung (Ziehen mit Zurücklegen)

Die Wahrscheinlichkeit, aus einer Urne in einem Zug eine rote Kugel zu ziehen, sei p (0<=p<=1). Die Formular berechnet dann die Wahrscheinlichkeit, in n Zügen mit Zurücklegen mindestens a und höchstens b rote Kugeln zu ziehen.

Wahrscheinlichkeit = å ( von x = a bis b ) ( n über x) * p^x * q^(n-x) q = 1-p